8 Matrixrepræsentationer

I de euklidiske rum Rn\mathbb{R}^n er vi vant til at arbejde med indlagte koordinatsystemer. F.eks. skitserer man ofte planen R2\mathbb{R}^2 ved at tegne et tilhørende koordinatsystem bestående af to vinkelrette linjer kaldet xx-aksen og yy-aksen. Faktisk er man så vant til dette billede, at man let glemmer, at koordinatsystemet ikke er en del af mængden R2\mathbb{R}^2. Koordinatsystemet bruges alene til at navngive punkter i R2\mathbb{R}^2 ud fra dets tilhørende koordinater. For et generelt F\mathbb{F}-vektorrum er basisbegrebet den naturlige generalisering af koordinatsystemer. En basis V=(v1,v2,…,vn)\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2, \ldots,{\bm{v}}_n) for et F\mathbb{F}-vektorrum VV giver anledning til en bijektiv afbildning
LV:Fn→V,(α1α2⋮αn)↦α1⋅v1+α2⋅v2+…+αn⋅vn.\begin{aligned} L_\mathcal{V} : \mathbb{F}^n & \rightarrow V, \\ \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} & \mapsto \alpha_1 \cdot {\bm{v}}_1 + \alpha_2 \cdot {\bm{v}}_2 + \ldots + \alpha_n \cdot {\bm{v}}_n. \end{aligned}
Idet LVL_\mathcal{V} er bijektiv, så vil punkterne i VV svare 1-1 til punkterne i Fn\mathbb{F}^n, og vi kan derfor bruge elementerne i Fn\mathbb{F}^n til at navngive elementerne i VV. Idet LVL_\mathcal{V} er lineær, så er denne navngivning ydermere så fin, at addition og skalarmultiplikation i VV og Fn\mathbb{F}^n er kompatible (se Proposition 8.4 for den præcise betydning). I praksis betyder dette, at så snart man har valgt en basis for VV, så kan man identificere VV med Fn\mathbb{F}^n.
Betragt det reelle vektorrum P2(R)P_2(\mathbb{R}) af reelle polynomier af grad <2<2. Polynomierne p1=1p_1= 1 og p2=Xp_2=X udgør elementerne i en basis V=(p1,p2)\mathcal{V}=(p_1,p_2) for P2(R)P_2(\mathbb{R}). Den tilsvarende identificering (eller navngivning) af P2(R)P_2(\mathbb{R}) med R2\mathbb{R}^2 er givet ved afbildningen
LV:R2→P2(R),(αβ)↦α+βX.\begin{aligned} L_\mathcal{V} : \mathbb{R}^2 & \rightarrow P_2(\mathbb{R}), \\ \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} & \mapsto \alpha + \beta X. \end{aligned}
Vi identificerer altså et polynomium α+βX\alpha + \beta X med vektoren (α,β)T∈R2(\alpha,\beta)^T \in \mathbb{R}^2.
F.eks. identificeres polynomiet 2+X2+X med (2,1)T(2,1)^T, mens 1+3X1+3 X identificeres med (1,3)T(1,3)^T. Kompatibiliteten med addition betyder her, at summen 3+4X3+4X af 2+X2+X og 1+3X1+3X identificeres med summen (3,4)T(3,4)^T af (2,1)T(2,1)^T og (1,3)T(1,3)^T.
Havde vi i stedet valgt basen W=(1,1+X)\mathcal{W}=(1, 1+X), så ville den valgte identifikation være givet ved
LW:R2→P2(R),(αβ)↦α+β(1+X)=(α+β)+βX. \begin{aligned} L_\mathcal{W} : \mathbb{R}^2 & \rightarrow P_2(\mathbb{R}), \\ \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} & \mapsto \alpha + \beta (1+X) = (\alpha+\beta)+ \beta X. \end{aligned}
Med denne identificering opfattes polynomierne 2+X2+X og 1+3X1+3X som hhv. vektorerne (1,1)T(1,1)^T og (−2,3)T(-2,3)^T.
Ovenstående eksempel illustrerer, at den betragtede identificering af VV med Fn\mathbb{F}^n afhænger af den valgte basis. Faktisk er dette en vigtig pointe, idet et smart valg af basis kan simplificere visse problemstillinger voldsomt. Vi illustrerer denne pointe med et eksempel.
Betragt den lineære operator
L:P3(R)→P3(R),p(X)↦(X+1)2p′′(X)+(X+1)p′(X)+p(X),(8.1) \begin{aligned} L : P_3(\mathbb{R}) & \rightarrow P_3(\mathbb{R}), \\ p(X) & \mapsto (X+1)^2 p''(X) + (X+1) p'(X) + p(X), \end{aligned} \tag{8.1}
og lad os antage, at vi ønsker at beskrive sammensætningerne Li=L∘L∘…∘LL^i = L \circ L \circ \ldots \circ L for i≥0i \geq 0. I princippet kan LiL^i bestemmes ved konkrete beregninger ud fra beskrivelsen (8.1), men i praksis så er dette kun muligt for små værdier af ii.
Lad os angribe opgaven ved at udtrykke LL ved hjælp af en basis for P3(R)P_3(\mathbb{R}). I første omgang betragtes basen
V=(1,X,X2)(8.2) \mathcal{V}=(1, X , X^2) \tag{8.2}
for P3(R)P_3(\mathbb{R}). Dette giver anledning til en isomorfi
LV:R3→P3(R),(α1,α2,α3)T↦α1+α2X+α3X2,\begin{aligned} L_\mathcal{V} : \mathbb{R}^3 & \rightarrow P_3(\mathbb{R}), \\ (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)^T & \mapsto \alpha_1 + \alpha_2 X + \alpha_3 X^2, \end{aligned}
som vi kan bruge til at identificere elementer i R3\mathbb{R}^3 og P3(R)P_3(\mathbb{R}). Idet
L(α1+α2X+α3X2)=(X+1)2(2α3)+(X+1)(α2+2α3X)+α1+α2X+α3X2=(2α3+α2+α1)+(6α3+2α2)X+5α3X2,\begin{aligned} L(\alpha_1 + \alpha_2 X + \alpha_3 X^2) ={} & (X+1)^2 (2 \alpha_3) + (X+1) (\alpha_2 + 2 \alpha_3 X) + \alpha_1 \\ & + \alpha_2 X + \alpha_3 X^2 \\ ={} & (2 \alpha_3 + \alpha_2 + \alpha_1)+ (6 \alpha_3 + 2 \alpha_2) X + 5 \alpha_3 X^2, \end{aligned}
så svarer LL, med den valgte identificering, til den lineære afbildning
LA:R3→R3,(α1α2α3)↦(2α3+α2+α16α3+2α25α3),\begin{aligned} L_A : \mathbb{R}^3 & \rightarrow \mathbb{R}^3, \\ \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{pmatrix} & \mapsto \begin{pmatrix} 2 \alpha_3 + \alpha_2 + \alpha_1 \\ 6 \alpha_3 + 2 \alpha_2 \\ 5 \alpha_3 \end{pmatrix} , \end{aligned}
defineret ved matricen
A=(112026005).(8.3) A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} . \tag{8.3}
At beskrive LiL^i, via den valgte identificering af P3(R)P_3(\mathbb{R}) med R3\mathbb{R}^3, svarer altså til at beregne potenser AiA^i af AA. Desværre er det heller ikke klart, hvordan AiA^i er givet for store værdier af ii. Vi påstår, at situationen er mere overskuelig, hvis vi i stedet for V\mathcal{V} havde valgt basen
W=(1,(X+1),(X+1)2)(8.4) \mathcal{W} = ( 1, (X+1), (X+1)^2) \tag{8.4}
for P3(R)P_3(\mathbb{R}). For denne basis ville man identificere P3(R)P_3(\mathbb{R}) med R3\mathbb{R}^3 via isomorfien
LW:R3→P3(R),(β1,β2,β3)T↦β1+β2(X+1)+β3(X+1)2.\begin{aligned} L_\mathcal{W} : \mathbb{R}^3 & \rightarrow P_3(\mathbb{R}), \\ (\beta_1,\beta_2, \beta_3 )^T & \mapsto \beta_1 + \beta_2 (X+1) + \beta_3 (X+1)^2. \end{aligned}
Idet
L(β1+β2(X+1)+β3(X+1)2)=(X+1)2(2β3)+(X+1)(β2+2β3(X+1))+β1+β2(X+1)+β3(X+1)2=β1+2β2(X+1)+5β3(X+1)2,\begin{aligned} L(\beta_1 &+ \beta_2 (X+1) + \beta_3 (X+1)^2 ) \\ ={} & (X+1)^2 (2 \beta_3) + (X+1) (\beta_2 + 2 \beta_3 (X+1) ) \\ & + \beta_1 + \beta_2 (X+1) + \beta_3 (X+1)^2 \\ ={} & \beta_1+ 2 \beta_2 (X+1) + 5 \beta_3 (X+1)^2 , \end{aligned}
så vil LL, via identificering vha. W\mathcal{W}, svare til afbildningen
LB:R3→R3,(β1β2β3)↦(β12β25β3),\begin{aligned} L_B : \mathbb{R}^3 & \rightarrow \mathbb{R}^3, \\ \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{pmatrix} & \mapsto \begin{pmatrix} \beta_1 \\ 2 \beta_2 \\ 5 \beta_3 \end{pmatrix} , \end{aligned}
defineret ved matricen
B=(100020005).(8.5) B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} . \tag{8.5}
I dette tilfælde er BB diagonal, og vilkårlige potenser af BB bestemmes derfor let
Bi=(1i0002i0005i).(8.6) B^i = \begin{pmatrix} 1^i & 0 & 0 \\ 0 & 2^i & 0 \\ 0 & 0 & 5^i \end{pmatrix} . \tag{8.6}
Specielt har vi dermed også en fornuftig beskrivelse af potenserne LiL^i.
Den præcise betydning af den ovenfor diskuterede navngivning er givet ved følgende begreb.
[Koordinatvektorer] Lad V=(v1,…,vn)\mathcal{V}=({\bm{v}}_1, \ldots, {\bm{v}}_n) betegne en basis for et F\mathbb{F}-vektorrum VV. Med koordinatvektoren for et element v∈V{\bm{v}} \in V mht. basen V\mathcal{V} menes elementet LV−1(v)∈FnL_\mathcal{V}^{-1}({\bm{v}}) \in \mathbb{F}^n. Koordinatvektoren betegnes også med [v]V[{\bm{v}}]_{\mathcal{V}}; dvs. [v]V=LV−1(v)[{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} = L_\mathcal{V}^{-1}({\bm{v}}).

Betragt basen V=(1,1+X)\mathcal{V}=(1,1+X) for det reelle vektorrum P2(R)P_2(\mathbb{R}) bestående af polynomier af grad <2<2. Angiv kooordinatvektoren [p]V[p]_{\mathcal{V}} for polynomiet p=3+7Xp=3+7X mht. basen V\mathcal{V}.
Dit svar: Det er en
Vi bemærker, at koordinatvektoren [v]V[{\bm{v}}]_\mathcal{V} for et element v∈V{\bm{v}} \in V er karakteriseret som den vektor
(α1α2⋮αn)∈Fn,(8.7) \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^n, \tag{8.7}
der opfylder relationen
v=α1⋅v1+α2⋅v2+…+αn⋅vn.(8.8) {\bm{v}} = \alpha_1 \cdot {\bm{v}}_1 + \alpha_2 \cdot {\bm{v}}_2 + \ldots + \alpha_n \cdot {\bm{v}}_n. \tag{8.8}
Lad V=(v1,v2,…,vn)\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n) betegne en basis for et F\mathbb{F}-vektorrum VV. Afbildningen
[⋅]V:V→Fnv↦[v]V\begin{aligned} [\cdot]_{\mathcal{V}}: V & \rightarrow \mathbb{F}^n \\ {\bm{v}} & \mapsto [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} \end{aligned}
er en lineær transformation; dvs.
  1. [α⋅v]V=α⋅[v]V[\alpha \cdot {\bm{v}}]_{\mathcal{V}} = \alpha \cdot [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}}, for alle α∈F\alpha \in \mathbb{F} og v∈V{\bm{v}} \in V.
  2. [v+w]V=[v]V+[w]V[{\bm{v}} + \bm{w}]_{\mathcal{V}} = [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} + [\bm{w}]_{\mathcal{V}}, for alle v,w∈V{\bm{v}}, \bm{w} \in V.

Bevis

Dette følger af Proposition 6.16, idet LVL_\mathcal{V} er en bijektiv lineær transformation med invers [⋅]V[\cdot]_{\mathcal{V}}.
Lad E\mathcal{E} betegne standardbasen for vektorrummet Fn\mathbb{F}^n (jf. Eksempel 7.7(6.)). Så er
[v]E=v(8.9) [{\bm{v}}]_{\mathcal{E}} = {\bm{v}} \tag{8.9}
for alle v∈Fn{\bm{v}} \in \mathbb{F}^n.
Såfremt man udover V\mathcal{V} også arbejder med en anden basis W=(w1,w2,…,wn)\mathcal{W}=(\bm{w}_1,\bm{w}_2,\ldots,\bm{w}_n) for VV, så kan man tilsvarende definere koordinatvektoren [v]W[{\bm{v}}]_{\mathcal{W}} mht. W\mathcal{W}. Koordinatvektorerne [v]W[{\bm{v}}]_{\mathcal{W}} og [v]V[{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} er ikke nødvendigvis ens, men vi vil i det følgende beskrive, hvordan de er forbundet. I først omgang indfører vi følgende begreb.
[Koordinattransformationsmatrix] Lad V=(v1,…,vn)\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,\ldots,{\bm{v}}_n) og W=(w1,…,wn)\mathcal{W}= ( \bm{w}_1,\ldots, \bm{w}_n) betegne baser for et F\mathbb{F}-vektorrum VV. Koordinattransformationsmatricen for overgangen fra W\mathcal{W}-basen til V\mathcal{V}-basen defineres som matricen
V[□]W=(∣∣∣[w1]V[w2]V⋯[wn]V∣∣∣)∈Matn(F).(8.10) {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ [\bm{w}_1]_{\mathcal{V}} & [\bm{w}_2]_{\mathcal{V}} & \cdots & [\bm{w}_n]_{\mathcal{V}} \\ | & | & & | \end{pmatrix} \in \mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F}). \tag{8.10}

Betragt de to baser V=(1,X,X2)\mathcal{V} = (1, X, X^{2}) og W=(1,1+X,2+X2)\mathcal{W} = (1, 1 + X, 2 + X^{2}) for det reelle vektorrum P3(R)P_3(\mathbb{R}) bestående af polynomier af grad ≤2\leq 2. Angiv koordinattransformationsmatricen for overgangen fra W\mathcal{W}-basen til V\mathcal{V}-basen.
Dit svar: Det er en

Quiz

Betragt det reelle vektorrum R2\mathbb{R}^2 og de to baser
V=((12),(34)), W=((11),(12)). \mathcal{V} = ( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}), \text{ } \mathcal{W} = ( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}).
Lad v=(1116){\bm{v}} = \begin{pmatrix} 11 \\ 16 \end{pmatrix}. Så er (23)\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} koordinatvektoren for v{\bm{v}} mht.
, mens
er koordinatvektoren for v{\bm{v}} mht.
. Koordinattransformationsmatricen for overgangen fra V\mathcal{V}-basen til W\mathcal{W}-basen er lig
.
(0211)\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
(65)\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \end{pmatrix}
W\mathcal{W}
V\mathcal{V}
At koordinattransformationsmatricen V[□]W{_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} er central i beskrivelsen af sammenhængen mellem [v]V[{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} og [v]W[{\bm{v}}]_{\mathcal{W}}, følger af nedenstående resultat.
Lad V\mathcal{V}, U\mathcal{U} og W\mathcal{W} betegne baser for et F\mathbb{F}-vektorrum VV. Så
  1. [v]V=V[□]W⋅[v]W[{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} = {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} \cdot [{\bm{v}}]_{\mathcal{W}} for v∈V{\bm{v}} \in V.
  2. Hvis A∈Matn(F)A \in \mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F}) opfylder relationen
    [v]V=A⋅[v]W, [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} = A \cdot [{\bm{v}}]_{\mathcal{W}},
    for alle v∈V{\bm{v}} \in V, så er A=V[□]WA = {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}}.
  3. V[□]V {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} er identitetsmatricen.
  4. W[□]V⋅V[□]U=W[□]U {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} \cdot {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{U}} = {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{U}} .
  5. W[□]V {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} er invertibel med invers V[□]W {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} .

Bevis

Lad v{\bm{v}} betegne en vektor i VV. Idet W\mathcal{W} er en basis for VV, så vil
v=α1⋅w1+α2⋅w2+⋯+αn⋅wn,(8.11) {\bm{v}} = \alpha_1 \cdot \bm{w}_1 + \alpha_2 \cdot \bm{w}_2 + \cdots + \alpha_n \cdot \bm{w}_n, \tag{8.11}
for passende skalarer α1,α2,…,αn∈F\alpha_1,\alpha_2, \ldots, \alpha_n \in \mathbb{F}. Koordinatvektoren for v{\bm{v}} mht. basen W\mathcal{W} er da givet ved
[v]W=(α1α2⋮αn).(8.12) [{\bm{v}}]_{\mathcal{W}} = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} . \tag{8.12}
Idet den ii'te søjle i V[□]W{_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} er givet ved [wi]V[\bm{w}_i]_{\mathcal{V}}, så følger det af identiteten (5.23), at
V[□]W⋅[v]W=α1⋅[w1]V+α2⋅[w2]V+⋯+αn⋅[wn]V=[α1⋅w1+α2⋅w2+⋯+αn⋅wn]V=[v]V,\begin{aligned} {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} \cdot [{\bm{v}}]_{\mathcal{W}} & = \alpha_1 \cdot [\bm{w}_1]_{\mathcal{V}} + \alpha_2 \cdot [\bm{w}_2]_{\mathcal{V}} + \cdots + \alpha_n \cdot [\bm{w}_n]_{\mathcal{V}} \\ & = [\alpha_1 \cdot \bm{w}_1 + \alpha_2 \cdot \bm{w}_2 + \cdots + \alpha_n \cdot \bm{w}_n]_{\mathcal{V}} \\ & = [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}}, \end{aligned}
hvor vi undervejs har brugt Proposition 8.4 samt identiteten (8.11). Dette viser udsagn (1.).
Lad nu A∈Matn(F)A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F}) betegne en matrix der opfylder identiteten i udsagn (2.). Bemærk da, at [wi]W=ei[\bm{w}_i]_{\mathcal{W}} = \bm{e}_i, for i=1,2,…,ni=1,2, \ldots,n, og derfor må
[wi]V=A⋅[wi]W=A⋅ei. [\bm{w}_i]_{\mathcal{V}} = A \cdot [\bm{w}_i]_{\mathcal{W}} = A \cdot \bm{e}_i.
Men A⋅eiA \cdot \bm{e}_i er identisk med den ii'te søjle i AA jf. (5.23), og dermed konkluderes det, at de ii'te søjler i AA og V[□]W{_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} er ens, for i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,n. Specielt er A=V[□]WA= {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}}, hvilket viser udsagn (2.).
Udsagn (3.) følger nu fra udsagn (2.) (anvendt på tilfældet V=W\mathcal{V}=\mathcal{W}) idet
[v]V=I⋅[v]V,(8.13) [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} = \mathrm{I} \cdot [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}}, \tag{8.13}
for alle v∈V{\bm{v}} \in V. For at indse udsagn (4.) bemærker vi, at der, for alle v∈V{\bm{v}} \in V, gælder
(W[□]V⋅V[□]U)⋅[v]U=W[□]V⋅(V[□]U⋅[v]U)=W[□]V⋅[v]V=[v]W\begin{aligned} ( {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} \cdot {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{U}} ) \cdot [{\bm{v}}]_\mathcal{U} & = {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} \cdot ( {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{U}} \cdot [{\bm{v}}]_\mathcal{U}) \\ & = {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} \cdot [{\bm{v}}]_\mathcal{V} && \\ & = [{\bm{v}}]_\mathcal{W} && \end{aligned}
hvor de sidste to lighedstegn følger ved anvendelse af udsagn (1.). Dermed følger (4.) fra udsagn (2.). Endelig implicerer (3.) og (4.) (anvendt på tilfældet U=W\mathcal{U}=\mathcal{W}), at
W[□]V⋅V[□]W=W[□]W=I,(8.14) {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} \cdot {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} = {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{W}}=\mathrm{I}, \tag{8.14}
og dermed er (5.) opfyldt.

Quiz

Lad VV betegne et F\mathbb{F}-vektorrum med baser U\mathcal{U}, V\mathcal{V} og W\mathcal{W}. Antag, at
W[□]V=(1234) og at W[□]U=(10132229). {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \text{ og at } {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{U}} = \begin{pmatrix} 10 & 13 \\ 22 & 29 \end{pmatrix}.
Angiv koordinattransformationsmatricen V[□]U. {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{U}}.
Dit svar: Det er en
  1. Lad V=(v1,…,vn)\mathcal{V}= ({\bm{v}}_1, \ldots, {\bm{v}}_n) betegne en basis for Fn\mathbb{F}^n. Så er koordinattransformationsmatricen E[□]V{_{\mathcal{E}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} fra V\mathcal{V}-basen til standardbasen E\mathcal{E} (jf. Eksempel 7.7(6.)), lig
    E[□]V=(∣∣∣v1v2⋯vn∣∣∣).(8.15) {_{\mathcal{E}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ {\bm{v}}_1 & {\bm{v}}_2 & \cdots & {\bm{v}}_n \\ | & | & & | \end{pmatrix} . \tag{8.15}
    Dette følger fra Definition 8.6 idet
    [vi]E=vi(8.16) [{\bm{v}}_i]_{\mathcal{E}} = {\bm{v}}_i \tag{8.16}
    for i=1,…,ni=1, \ldots, n jf. Eksempel 8.5. Specielt er koordinattransformationsmatricen V[□]E{_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{E}} lig den inverse til matricen (v1∣v2∣…∣vn)\Big({\bm{v}}_1 | {\bm{v}}_2 | \ldots | {\bm{v}}_n\Big), jf. Proposition 8.8(5.).
  2. I Eksempel 8.2 arbejdede vi med to forskellige baser V=(1,X,X2)\mathcal{V}=(1,X,X^2) og W=(1,X+1,(X+1)2)\mathcal{W}=(1,X+1,(X+1)^2) for det reelle vektorrum P3(R)P_3(\mathbb{R}). Idet
    1=1⋅1+0⋅X+0⋅X2,X+1=1⋅1+1⋅X+0⋅X2,(X+1)2=1⋅1+2⋅X+1⋅X2,\begin{aligned} 1 & = 1 \cdot 1 + 0 \cdot X + 0 \cdot X^2,\\ X+1 &= 1 \cdot 1 + 1 \cdot X + 0 \cdot X^2 , \\ (X+1)^2 & = 1 \cdot 1+ 2 \cdot X + 1 \cdot X^2,\\ \end{aligned}
    så følger det, at
    [1]V=(100),[X+1]V=(110),[(X+1)2]V=(121),(8.17) [1]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \quad [X+1]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \quad [(X+1)^2]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} , \tag{8.17}
    og dermed, ifølge Definition 8.6, at
    V[□]W=(111012001).(8.18) {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} . \tag{8.18}
    Matricen W[□]V{_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} er sværere at bestemme direkte, men hvis vi udnytter, at W[□]V{_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} er den inverse matrix til V[□]W{_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}}, så kan vi bestemme W[□]V{_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} via metoderne beskrevet i forbindelse med Proposition 4.12. Vi udfører derfor elementære rækkeoperationer, og opnår
    (111012001100010001)∼(1000100011−1101−2001),(8.19) \begin{pmatrix} \begin{array}{c | c} \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} \begin{array}{c | c} \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} , \tag{8.19}
    hvoraf det konkluderes, at
    W[□]V=(1−1101−2001).(8.20) {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} . \tag{8.20}
    Af dette aflæser vi bl.a., at
    [X2]W=(1−21),(8.21) [X^2]_{\mathcal{W}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} , \tag{8.21}
    hvilket er ækvivalent med, at
    X2=1⋅1−2⋅(X+1)+1⋅(X+1)2.(8.22) X^2 = 1 \cdot 1 -2 \cdot (X+1) + 1 \cdot (X+1)^2. \tag{8.22}
  3. Betragt vektorerne
    w1=(12),w2=(11), \bm{w}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} , \quad \bm{w}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix},
    i R2\mathbb{R}^2. Det tjekkes let, at W=(w1,w2)\mathcal{W}=(\bm{w}_1,\bm{w}_2) er en basis for R2\mathbb{R}^2, og at
    E[□]W=(1121). {_{\mathcal{E}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix}.
    Tilsvarende så kan det tjekkes, at V=(v1,v2)\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2) med
    v1=(10),v2=(11), {\bm{v}}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} , \quad {\bm{v}}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix},
    er en basis for R2\mathbb{R}^2, og at
    E[□]V=(1101). {_{\mathcal{E}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}.
    Vi finder altså, jf. Proposition 8.8, at
    W[□]V=W[□]E⋅E[□]V=E[□]W−1⋅E[□]V=(1121)−1(1101)=(−112−1)(1101)=(−1021).\begin{aligned} {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} & = {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{E}} \cdot {_{\mathcal{E}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} \\ &= {_{\mathcal{E}}}[{\square}]_{\mathcal{W}}^{-1} \cdot {_{\mathcal{E}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix}. \end{aligned}

8.1 Matrixrepræsentationer

Vi har tidligere set, jf. Lemma 6.23, at enhver lineær afbildning L:Fn→FmL : \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}^m, kan beskrives som multiplikation med en matrix A∈Matm,n(F)A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F}). Matricen AA er ydermere entydigt bestemt, og kaldes for standardmatrixrepræsentationen (eller blot SMR) af LL. Dette leder frem til følgende definition.
[Standardmatrixrepræsentation (SMR)] For en lineær afbildning L:Fn→FmL : \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}^m kaldes matricen
M(L)=(L(e1)∣L(e2)∣⋯∣L(en))∈Matm,n(F) \mathcal{M}(L) = \begin{pmatrix} L(\bm{e}_1) | L(\bm{e}_2) | \cdots | L(\bm{e}_n) \end{pmatrix} \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})
for standardmatrixrepræsentationen (SMR) af LL.
Følgende observation er da en direkte konsekvens af Lemma 6.23.
Lad L:Fn→FmL: \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}^m betegne en lineær transformation med SMR lig M(L)\mathcal{M}(L). Så vil
L(v)=M(L)⋅v(8.23) L({\bm{v}}) = \mathcal{M}(L) \cdot {\bm{v}} \tag{8.23}
for v∈Fn{\bm{v}} \in \mathbb{F}^n.
Betragt nu en generel lineær afbildning
L:V→W,(8.24) L : V \rightarrow W, \tag{8.24}
mellem F\mathbb{F}-vektorrum VV og WW af endelige dimensioner >0>0. Hvis vi indfører baser V=(v1,v2,…,vn)\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n) og W=(w1,w2,…,wm)\mathcal{W}=(\bm{w}_1,\bm{w}_2,\ldots,\bm{w}_m) for hhv. VV og WW, så kan vi (via koordinatvektorer) identificere VV og WW med hhv. Fn\mathbb{F}^n og Fm\mathbb{F}^m, og på den måde opfatte LL som en afbildning, hvortil der hører en SMR. Det præcise billede er gengivet i følgende diagram:
Ideen er nu, at SMR af den lineære afbildning LW−1∘L∘LVL_\mathcal{W}^{-1} \circ L \circ L_\mathcal{V} er relateret til egenskaber for LL. I den forbindelse bemærker vi, at
(LW−1∘L∘LV)(ei)=(LW−1∘L)(vi)=LW−1(L(vi))=[L(vi)]W,(8.25) (L_\mathcal{W}^{-1} \circ L \circ L_\mathcal{V})(\bm{e}_i) = (L_\mathcal{W}^{-1} \circ L)({\bm{v}}_i) = L_\mathcal{W}^{-1}\big(L({\bm{v}}_i)\big) = [L({\bm{v}}_i)]_{\mathcal{W}}, \tag{8.25}
og i betragtning af Definition 8.11, så definerer vi derfor følgende:
[Matrixrepræsentation] Lad L:V→WL : V \rightarrow W betegne en lineær afbildning mellem F\mathbb{F}-vektorrum VV og WW med baser hhv. V=(v1,…,vn)\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,\ldots,{\bm{v}}_n) og W=(w1,…,wm)\mathcal{W}= ( \bm{w}_1,\ldots,\bm{w}_m). Matrixrepræsentationen for LL mht. baserne V\mathcal{V} og W\mathcal{W} defineres da som matricen
W[L]V=(∣∣∣[L(v1)]W[L(v2)]W⋯[L(vn)]W∣∣∣)∈Matm,n(F).(8.26) {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ [L({\bm{v}}_1)]_\mathcal{W} & [L({\bm{v}}_2)]_\mathcal{W} & \cdots & [L({\bm{v}}_n)]_\mathcal{W} \\ | & | & & | \end{pmatrix} \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F}). \tag{8.26}

Lad hhv. V=(1,2X+1)\mathcal{V}=(1,2X+1) og W=((13),(24))\mathcal{W}=(\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}) betegne baser for de to reelle vektorrum V=P2(R)V=P_2(\mathbb{R}) og W=R2W= \mathbb{R}^2. Betragt den lineære transformation
L:P2(R)→R2.p↦(p(0)p(1))\begin{aligned} L : P_2(\mathbb{R}) & \rightarrow \mathbb{R}^2. \\ p & \mapsto \begin{pmatrix} p(0) \\ p(1) \end{pmatrix} \end{aligned}
Angiv matrixrepræsentationen W[L]V{_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}.
Dit svar: Det er en
Lad L:V→WL : V \rightarrow W betegne en lineær afbildning mellem F\mathbb{F}-vektorrum VV og WW med baser hhv. V\mathcal{V} og W\mathcal{W}. Så gælder:
  1. [L(v)]W=W[L]V⋅[v]V [L({\bm{v}})]_{\mathcal{W}} = {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot [{\bm{v}}]_\mathcal{V} for alle v∈V{\bm{v}} \in V.
  2. Hvis A∈Matm,n(F)A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F}) opfylder relationen
    [L(v)]W=A⋅[v]V, [L({\bm{v}})]_\mathcal{W} = A \cdot [{\bm{v}}]_\mathcal{V} ,
    for alle v∈V{\bm{v}} \in V, så er A=W[L]VA = {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}.

Bevis

Lad V\mathcal{V} og W\mathcal{W} være givet ved hhv. V=(v1,v2,…,vn)\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n) og W=(w1,w2,…,wm)\mathcal{W}=(\bm{w}_1,\bm{w}_2,\ldots,\bm{w}_m). Idet V\mathcal{V} er en basis for VV, så vil ethvert element v∈V{\bm{v}} \in V kunne skrives som
v=α1⋅v1+α2⋅v2+⋯+αn⋅vn,(8.27) {\bm{v}} = \alpha_1 \cdot {\bm{v}}_1 + \alpha_2 \cdot {\bm{v}}_2 + \cdots + \alpha_n \cdot {\bm{v}}_n, \tag{8.27}
for passende skalarer α1,α2,…,αn∈F\alpha_1,\alpha_2, \ldots, \alpha_n \in \mathbb{F}. Specielt vil
L(v)=α1⋅L(v1)+α2⋅L(v2)+⋯+αn⋅L(vn), L({\bm{v}}) = \alpha_1 \cdot L({\bm{v}}_1) + \alpha_2 \cdot L({\bm{v}}_2) + \cdots + \alpha_n \cdot L({\bm{v}}_n),
jf. egenskaberne for en lineær transformation. Ifølge egenskaberne for koordinatvektorer beskrevet i Proposition 8.4 så konkluderer vi, at
[L(v)]W=α1⋅[L(v1)]W+α2⋅[L(v2)]W+⋯+αn⋅[L(vn)]W.(8.28) [L({\bm{v}})]_{\mathcal{W}} = \alpha_1 \cdot [L({\bm{v}}_1)]_{\mathcal{W}} + \alpha_2 \cdot [L({\bm{v}}_2)]_{\mathcal{W}} + \cdots + \alpha_n \cdot [L({\bm{v}}_n)]_{\mathcal{W}}. \tag{8.28}
Men jf. (5.23) så kan højresiden af (8.28) også beskrives som produktet
W[L]V⋅(α1α2⋮αn)=W[L]V⋅[v]V, {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} = {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}},
hvor det sidste lighedstegn følger af (8.27). Hermed er udsagn (1.) vist.
Antag nu, at en matrix A∈Matm,n(F)A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F}) opfylder egenskaben i udsagn (2.). Hermed vil der specielt gælde, at
[L(vi)]W=A⋅[vi]V=A⋅ei,(8.29) [L({\bm{v}}_i)]_{\mathcal{W}} = A \cdot [{\bm{v}}_i]_{\mathcal{V}} =A \cdot \bm{e}_i, \tag{8.29}
for ethvert i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,n. Men jf. (5.23), så er højresiden i (8.29) også lig den ii'te søjle i AA. Venstresiden i (8.29) er derimod lig den ii'te søjle i W[L]V{_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}, og derfor må A=W[L]VA = {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} som påstået.
  1. Hvis VV betegner et vektorrum med to baser V\mathcal{V} og W\mathcal{W}, så er matrixrepræsentationen for identitetsafbildningen Id:V→V{\rm Id} : V \rightarrow V lig
    W[Id]V=(∣∣∣[v1]W[v2]W⋯[vn]W∣∣∣)=W[□]V, {_{\mathcal{W}}}[{{\rm Id}}]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ [{\bm{v}}_1]_{\mathcal{W}} & [{\bm{v}}_2]_{\mathcal{W}} & \cdots & [{\bm{v}}_n]_{\mathcal{W}} \\ | & | & & | \end{pmatrix} = {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} ,
    dvs. identisk med koordinattransformationsmatricen W[□]V{_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}}.
  2. I Eksempel 8.2 beskrev vi to matrixrepræsentationer AA og BB hørende til en lineær operator L:P3(R)→P3(R)L : P_3(\mathbb{R}) \rightarrow P_3(\mathbb{R}). Med notation som i Eksempel 8.2 så er forbindelsen til ovenstående notation givet ved, at V[L]V=A{_{\mathcal{V}}}[{L}]_{\mathcal{V}} =A og W[L]W=B{_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{W}} =B.
  3. Lad V=(v1,v2)\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2) og W=(w1,w2)\mathcal{W}=(\bm{w}_1,\bm{w}_2) betegne baser for hhv. R2\mathbb{R}^2 og R2\mathbb{R}^2, og lad L:R2→R2L : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 betegne en lineær transformation, der opfylder, at
    L(v1)=w1+2w2 og L(v2)=3w1+4w2. L({\bm{v}}_1) = \bm{w}_1 + 2 \bm{w}_2 \text{ og } L({\bm{v}}_2) = 3 \bm{w}_1 + 4 \bm{w}_2.
    Specielt er
    [L(v1)]W=(12)[L(v2)]W=(34) \begin{aligned} [L({\bm{v}}_1)]_{\mathcal{W}} & = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ [L({\bm{v}}_2)]_{\mathcal{W}} & = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{aligned}
    og matrixrepræsentationen W[L]V{_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} er dermed lig
    W[L]V=(1324), {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{pmatrix},
    jf. Definition 8.6. Betragt nu en vektor v∈V{\bm{v}} \in V på formen v=α1v1+α2v2{\bm{v}} = \alpha_1 {\bm{v}}_1 + \alpha_2 {\bm{v}}_2, for skalarer α1,α2∈F\alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{F}. Så
    L(v)=α1L(v1)+α2L(v2)=α1(w1+2w2)+α2(3w1+4w2)=(α1+3α2)w1+(2α1+4α2)w2,\begin{aligned} L({\bm{v}}) & = \alpha_1 L({\bm{v}}_1) + \alpha_2 L({\bm{v}}_2) \\ & = \alpha_1 (\bm{w}_1 + 2 \bm{w}_2) + \alpha_2 (3 \bm{w}_1 + 4 \bm{w}_2) \\ & = (\alpha_1 + 3 \alpha_2) \bm{w}_1 + (2 \alpha_1 + 4 \alpha_2) \bm{w}_2, \end{aligned}
    hvoraf det følger, at
    [L(v)]W=(α1+3α22α1+4α2)=(1324)⋅(α1α2)=W[L]V⋅[v]V. \begin{aligned} [L({\bm{v}})]_{\mathcal{W}} & = \begin{pmatrix} \alpha_1 + 3 \alpha_2 \\ 2 \alpha_1 + 4 \alpha_2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \end{pmatrix} \\ & = {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}}. \end{aligned}
    Vi genfinder dermed formlen 8.15(1.) i dette konkrete tilfælde.
  4. Lad A∈Matm,n(F)A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F}) betegne en matrix, og lad LA:Fn→FmL_A : \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}^m betegne den tilsvarende lineære afbildning. Idet En\mathcal{E}_n og Em\mathcal{E}_m betegner standardbaserne for hhv. Fn\mathbb{F}^n og Fm\mathbb{F}^m (jf. Eksempel 7.7(6.)), så er den tilsvarende matrixrepræsentation Em[LA]En{_{\mathcal{E}_m}}[{L_A}]_{\mathcal{E}_n} lig AA. Dette følger fra Definition 8.14, idet
    [LA(ei)]Em=LA(ei)=A⋅ei=i’te søjle i A.(8.30) [L_A(\bm{e}_i)]_{\mathcal{E}_m} = L_A(\bm{e}_i) = A \cdot \bm{e}_i = i\text{'te søjle i } A. \tag{8.30}
    Standardmatrixrepræsentation M(LA)=A\mathcal{M}(L_A)=A for LAL_A er altså lig matrixrepræsentationen for LAL_A mht. standardbaserne for hhv. Fn\mathbb{F}^n og Fm\mathbb{F}^m.
  5. I Eksempel 7.7(5.) definerede vi Pnμ(C)P_n^\mu(\mathbb{C}) som underrummet i C∞(R,C)C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{C}), udspændt af de lineært uafhængige funktioner
    hk,μ(t)=tk⋅eμ⋅t(8.31) h_{k,\mu}(t) = t^k \cdot e^{\mu \cdot t} \tag{8.31}
    for t∈Rt \in \mathbb{R} og for k=0,1,2,…,n−1k=0,1,2,\ldots, n-1. Idet de afledte af hk,μh_{k,\mu}'erne er lig (nedenfor skal h−1,μh_{-1,\mu} tolkes som nulfunktionen):
    hk,μ′(t)=ktk−1eμ⋅t+μtkeμ⋅t=k⋅hk−1,μ(t)+μ⋅hk,μ(t),(8.32) h_{k,\mu}'(t) = k t^{k-1} e^{\mu \cdot t} + \mu t^k e^{\mu \cdot t} = k \cdot h_{k-1,\mu}(t) + \mu \cdot h_{k,\mu}(t), \tag{8.32}
    så vil differentiationsafbildningen inducere en lineær operator
    D:Pnμ(C)→Pnμ(C).f↦f′\begin{aligned} D : P_n^\mu(\mathbb{C}) & \rightarrow P_n^\mu(\mathbb{C}). \\ f & \mapsto f' \end{aligned}
    Den tilhørende matrixrepræsentation mht. basen Vnμ=(h0,μ,…,hn−1,μ)\mathcal{V}_n^{\mu}=(h_{0,\mu}, \ldots, h_{n-1,\mu}) er da, ifølge Definition 8.14, lig
    Vnμ[D]Vnμ=(μ100⋯00μ20⋯000μ3⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮0000⋯n−10000⋯μ).(8.33) {_{{\mathcal{V}_n^\mu}}}[{D}]_{{\mathcal{V}_n^\mu}} = \begin{pmatrix} \mu & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \mu & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \mu & 3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & n-1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \mu \end{pmatrix} . \tag{8.33}

8.2 Matrixrepræsentationer og kompositioner

Vi vil nu undersøge, hvordan matrixrepræsentationer opfører sig ifm. forskellige typer af kompositioner. Vi starter med at beskrive matrixrepræsentationer for sammensætninger af lineære afbildninger.
Lad T:U→VT : U \rightarrow V og L:V→WL : V \rightarrow W betegne lineære afbildninger mellem F\mathbb{F}-vektorrum. Lad samtidig U\mathcal{U}, V\mathcal{V} og W\mathcal{W} betegne baser for hhv. UU, VV og WW. Så
W[L]V⋅V[T]U=W[L∘T]U.(8.34) {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot {_{\mathcal{V}}}[{T}]_{\mathcal{U}} = {_{\mathcal{W}}}[{L\circ T}]_{\mathcal{U}}. \tag{8.34}

Bevis

Udsagnet følger ved anvendelse af karakteriseringen af matrixrepræsentationer beskrevet i Proposition 8.15(2.). Vi sætter A=W[L]V⋅V[T]UA= {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot {_{\mathcal{V}}}[{T}]_{\mathcal{U}} , og bemærker, at
A⋅[u]U=(W[L]V⋅V[T]U)⋅[u]U=W[L]V⋅(V[T]U⋅[u]U)=W[L]V⋅[T(u)]V(Proposition 8.15(1.))=[L(T(u))]W(Proposition 8.15(1.))=[(L∘T)(u)]W\begin{aligned} A \cdot [\bm{u}]_{\mathcal{U}} & = ( {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot {_{\mathcal{V}}}[{T}]_{\mathcal{U}} ) \cdot [\bm{u}]_{\mathcal{U}} \\ & = {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot ({_{\mathcal{V}}}[{T}]_{\mathcal{U}} \cdot [\bm{u}]_{\mathcal{U}}) \\ & = {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot [T(\bm{u})]_{\mathcal{V}} && \text{(Proposition \href{#prop:matrixrelationerI}{8.15}\href{#item:prop:matrixrelationerI:a}{(1.)})} \\ & = [L(T(\bm{u}))]_{\mathcal{W}} && \text{(Proposition \href{#prop:matrixrelationerI}{8.15}\href{#item:prop:matrixrelationerI:a}{(1.)})} \\ & = [(L \circ T)(\bm{u})]_{\mathcal{W}} \end{aligned}
for alle u∈U\bm{u} \in U. Specielt opfylder AA betingelserne i Proposition 8.15(2.) mht. den lineære transformation L∘TL \circ T og baserne W\mathcal{W} og U\mathcal{U}. Hermed følger (8.34) af Proposition 8.15(2.).
Lad L:V→WL : V \rightarrow W betegne en lineær afbildning mellem F\mathbb{F}-vektorrum. Lad V\mathcal{V} og V′\mathcal{V}' betegne baser for VV, og lad W\mathcal{W} og W′\mathcal{W}' betegne baser for WW. Så er
W′[L]V′=W′[□]W⋅W[L]V⋅V[□]V′.(8.35) {_{{\mathcal{W}'}}}[{L}]_{{\mathcal{V}'}} = {_{{\mathcal{W}'}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} \cdot {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{{\mathcal{V}'}} . \tag{8.35}

Lad L:R2→R2L : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 betegne en lineær operator på det reelle vektorrum R2\mathbb{R}^2. Lad V\mathcal{V} og W\mathcal{W} betegne to baser for R2\mathbb{R}^2, og antag, at
V[L]V=(1−124) og at V[□]W=(1−1−12). {_{\mathcal{V}}}[{L}]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \text{ og at } {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.
Angiv W[L]W{_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{W}}.
Dit svar: Det er en

Bevis

Lad IdV{\rm Id}_V og IdW{\rm Id}_W betegne identitetsafbildningerne på hhv. VV og WW, og bemærk, jf. Eksempel 8.16(1.), at
W′[□]W=W′[IdW]W og V[□]V′=V[IdV]V′(8.36) {_{{\mathcal{W}'}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} = {_{{\mathcal{W}'}}}[{{\rm Id}_W}]_{\mathcal{W}} \text{ og } {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{{\mathcal{V}'}} = {_{\mathcal{V}}}[{{{\rm Id}_V}}]_{{\mathcal{V}'}} \tag{8.36}
Påstanden er nu en konsekvens af Proposition 8.17: i første omgang følger det, at
W′[□]W⋅W[L]V=W′[IdW]W⋅W[L]V=W′[IdW∘L]V=W′[L]V.\begin{aligned} {_{{\mathcal{W}'}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} \cdot {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} & = {_{{\mathcal{W}'}}}[{{\rm Id}_W}]_{\mathcal{W}} \cdot {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \\ & = {_{{\mathcal{W}'}}}[{{\rm Id}_W \circ L}]_{\mathcal{V}} \\ & = {_{{\mathcal{W}'}}}[{L}]_{\mathcal{V}} . \\ \end{aligned}
Dernæst fås
W′[□]W⋅W[L]V⋅V[□]V′=W′[L]V⋅V[□]V′=W′[L]V⋅V[IdV]V′=W′[L∘IdV]V′=W′[L]V′\begin{aligned} {_{{\mathcal{W}'}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} \cdot {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{{\mathcal{V}'}} & = {_{{\mathcal{W}'}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{{\mathcal{V}'}} \\ & = {_{{\mathcal{W}'}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot {_{\mathcal{V}}}[{{{\rm Id}_V}}]_{{\mathcal{V}'}} \\ & = {_{{\mathcal{W}'}}}[{L \circ {\rm Id}_V}]_{{\mathcal{V}'}} \\ & = {_{{\mathcal{W}'}}}[{L}]_{{\mathcal{V}'}} \end{aligned}
som ønsket.
I Eksempel 8.16(2.) fandt vi matrixrepræsentationer V[L]V=A{_{{\mathcal{V}}}}[{L}]_{{\mathcal{V}}}=A og W[L]W=B{_{{\mathcal{W}}}}[{L}]_{{\mathcal{W}}}=B for en konkret lineær operator L:P3(R)→P3(R)L : P_3(\mathbb{R}) \rightarrow P_3(\mathbb{R}) hørende til to forskellige baser V\mathcal{V} og W\mathcal{W}. Herudover så har vi i Eksempel 8.10(2.) beskrevet koordinattransformationsmatricerne V[□]W{_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} og W[□]V{_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}}. Vi kan derfor direkte tjekke, at identiteten
A=V[□]W⋅B⋅W[□]V A = {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} \cdot B \cdot {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}}
er opfyldt som påstået i Korollar 8.18.
I Eksempel 8.16(5.) studerede vi differentiationsoperatoren DD på vektorrummene Pnμ(C)P_n^\mu(\mathbb{C}), og beskrev de tilhørende matrixrepræsentationer Vnμ[D]Vnμ{_{{\mathcal{V}_n^\mu}}}[{D}]_{{\mathcal{V}_n^\mu}}. Sammensætningen DkD^k af den lineære operator DD med sig selv kk gange er ligeledes en lineær operator på Pnμ(C)P_n^\mu(\mathbb{C}). Den tilsvarende matrixrepræsentation mht. Vnμ\mathcal{V}_n^\mu er, ifølge Proposition 8.17, lig
Vnμ[Dk]Vnμ=(Vnμ[D]Vnμ)k.(8.37) {_{{\mathcal{V}_n^\mu}}}[{D^k}]_{{\mathcal{V}_n^\mu}} = \big( {_{{\mathcal{V}_n^\mu}}}[{D}]_{{\mathcal{V}_n^\mu}} \big)^k. \tag{8.37}
Hvis f.eks. n=2n=2 og μ=1\mu=1, så er
V21[D2]V21=(1101)2=(1201).(8.38) {_{{\mathcal{V}_2^1}}}[{D^2}]_{{\mathcal{V}_2^1}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} ^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} . \tag{8.38}

8.3 Beregninger af matrixrepræsentationer

Matrixrepræsentationer for lineære transformationer mellem vektorrum af formen Fn\mathbb{F}^n kan beregnes ved hjælp af elementære rækkeoperationer. Dette er beskrevet i følgende resultat.
Lad L:Fn→FmL : \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}^m betegne en lineær transformation, og lad V=(v1,…,vn)\mathcal{V}=({\bm{v}}_1, \ldots,{\bm{v}}_n) og W=(w1,…,wm)\mathcal{W}=(\bm{w}_1, \ldots, \bm{w}_m) betegne baser for hhv. Fn\mathbb{F}^n og Fm\mathbb{F}^m. Den opdelte matrix
(∣∣∣w1w2⋯wm∣∣∣∣∣∣L(v1)L(v2)⋯L(vn)∣∣∣)(8.39) \begin{pmatrix} \begin{array}{c | c} \begin{matrix} | & | & & | \\ \bm{w}_1 & \bm{w}_2 & \cdots & \bm{w}_m\\ | & | & & | \end{matrix} & \begin{matrix} | & | & & | \\ L({\bm{v}}_1) & L({\bm{v}}_2) & \cdots & L({\bm{v}}_n)\\ | & | & & | \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} \tag{8.39}
er da rækkeækvivalent med en entydig matrix på formen (Im∣A)(\mathrm{I}_m | A), hvor A∈Matm,n(F)A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F}). Matricen AA er lig matrixrepræsentationen W[L]V{_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}.

Bevis

Påstanden følger ved anvendelse af Proposition 4.12, såfremt vi kan vise, at matricen
W=(∣∣∣w1w2⋯wm∣∣∣)∈Matm(F)(8.40) W= \begin{pmatrix} | & | & & | \\ \bm{w}_1 & \bm{w}_2 & \cdots & \bm{w}_m \\ | & | & & | \end{pmatrix} \in \mathrm{Mat}_{m}(\mathbb{F}) \tag{8.40}
er invertibel, og at
W[L]V=W−1⋅(∣∣∣L(v1)L(v2)⋯L(vn)∣∣∣).(8.41) {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} = W^{-1} \cdot \begin{pmatrix} | & | & & | \\ L({\bm{v}}_1) & L({\bm{v}}_2) & \cdots & L({\bm{v}}_n) \\ | & | & & | \end{pmatrix} . \tag{8.41}
At WW er invertibel følger, idet W\mathcal{W} er en basis (jf. Proposition 7.4). Faktisk er WW lig koordinattransformationsmatricen E[□]W{_{\mathcal{E}}}[{\square}]_{\mathcal{W}}, jf. Eksempel 8.10(1.), og dermed er W−1W^{-1} lig W[□]E{_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{E}}, jf. Proposition 8.8(5.). Relationen (8.41) er dermed ækvivalent med, at
W[□]E⋅L(vi)=[L(vi)]W(8.42) {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{E}} \cdot L({\bm{v}}_i) = [ L({\bm{v}}_i)]_{\mathcal{W}} \tag{8.42}
for i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,n, ifølge Definition 8.14. Det sidste udsagn følger fra Proposition 8.8(1.), idet L(vi)=[L(vi)]E L({\bm{v}}_i) = [ L({\bm{v}}_i)]_{\mathcal{E}} (jf. Eksempel 8.5).
  1. Betragt den lineære afbildning LA:R3→R2L_A : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 defineret ved matricen
    A=(5−436−54).(8.43) A = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 3\\ 6 & -5 & 4 \end{pmatrix} . \tag{8.43}
    Vælg baser V=(v1,v2,v3)\mathcal{V}=({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, {\bm{v}}_3) for R3\mathbb{R}^3 og W=(w1,w2)\mathcal{W}=(\bm{w}_1,\bm{w}_2) for R2\mathbb{R}^2 bestående af vektorerne
    v1=(110),v2=(230),v3=(001),(8.44) {\bm{v}}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\quad {\bm{v}}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} ,\quad {\bm{v}}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \tag{8.44}
    og
    w1=(11),w2=(23),(8.45) \bm{w}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} , \quad \bm{w}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ \end{pmatrix} , \tag{8.45}
    og lad os anvende Proposition 8.21 til at beregne W[LA]V{_{\mathcal{W}}}[{L_A}]_{\mathcal{V}}. Vi opskriver derfor matricen
    (∣∣w1w2∣∣∣∣∣LA(v1)LA(v2)LA(v3)∣∣∣)=(12131−231−34), \begin{pmatrix} \begin{array}{ c | c} \begin{matrix} \mid & \mid \\ \bm{w}_1 & \bm{w}_2 \\ \mid & \mid \end{matrix} & \begin{matrix} \mid & \mid & \mid \\ L_A({\bm{v}}_1) & L_A({\bm{v}}_2) & L_A({\bm{v}}_3) \\ \mid & \mid & \mid \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{array}{ c | c} \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ 1 & -3 & 4 \\ \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} ,
    og udfører elementære rækkeoperationer, indtil vi opnår
    (10011010−11).(8.46) \begin{pmatrix} \begin{array}{c | c } \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1\\ \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} . \tag{8.46}
    Vi konkluderer dermed, at
    W[LA]V=(1010−11).(8.47) {_{\mathcal{W}}}[{L_A}]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} . \tag{8.47}
  2. Vi kan også anvende Proposition 8.21 til at beregne koordinattransformationsmatricen W[□]V{_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} mht. baser V=(v1,…,vn)\mathcal{V}=({\bm{v}}_1, \ldots, {\bm{v}}_n) og W=(w1,…,wn)\mathcal{W}=(\bm{w}_1,\ldots,\bm{w}_n) for Fn\mathbb{F}^n. Vi erindrer, at W[□]V{_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} er identisk med matrixrepræsentationen W[Id]V{_{\mathcal{W}}}[{{\rm Id}}]_{\mathcal{V}} ifølge Eksempel 8.16(1.). Dermed er W[□]V{_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} bestemt som matricen opfyldende, at (In∣W[□]V)(\mathrm{I}_n|{_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}}) er rækkeækvivalent med
    (∣∣∣w1w2⋯wn∣∣∣∣∣∣v1v2⋯vn∣∣∣).(8.48) \begin{pmatrix} \begin{array}{ c | c } \begin{matrix} | & | & & | \\ \bm{w}_1 & \bm{w}_2 & \cdots & \bm{w}_n\\ | & | & & | \end{matrix} & \begin{matrix} | & | & & | \\ {\bm{v}}_1 & {\bm{v}}_2 & \cdots & {\bm{v}}_n\\ | & | & & | \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} . \tag{8.48}
    Hvis vi f.eks. betragter de to baser V\mathcal{V} og W\mathcal{W} for R2\mathbb{R}^2 i Eksempel 8.10(3.), så vil
    (11211101)∼(110−111−2−1)∼(100−1−10−2−1)∼(1001−1021)\begin{aligned} \begin{pmatrix} \begin{array}{ c | c } \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} & \sim \begin{pmatrix} \begin{array}{ c | c } \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \\ \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} \\ & \sim \begin{pmatrix} \begin{array}{ c | c } \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} -1 & 0 \\ -2 & -1 \\ \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} \\ & \sim \begin{pmatrix} \begin{array}{ c | c } \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \\ \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} \end{aligned}
    og vi genfinder derfor, at
    W[□]V=(−1021). {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix}.

8.4 Beregninger af kerner og billeder via matrixrepræsentationer

Vi har tidligere set, hvordan man konkret kan bestemme kerner og billeder for lineære afbildninger mellem F\mathbb{F}-vektorrum af typen Fn\mathbb{F}^n (svarende til nulrum og søjlerum for de tilsvarende SMR). Matrixrepræsentationer giver os nu mulighed for at overføre disse resultater til mere generelle vektorrum. I den forbindelse er følgende resultat anvendeligt.
Lad L:V→WL : V \rightarrow W betegne en lineær afbildning, og lad V\mathcal{V} og W\mathcal{W} betegne baser for hhv. VV og WW. Så gælder:
  1. Et element v∈V{\bm{v}} \in V tilhører kernen ker⁡(L)\ker(L) for LL hvis og kun hvis den tilsvarende koordinatvektor [v]V[{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} er et element i nulrummet N(W[L]V)N({_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}) for matrixrepræsentationen W[L]V{_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}.
  2. Et element w∈W\bm{w} \in W tilhører billedet af LL hvis og kun hvis den tilsvarende koordinatvektor [w]W[\bm{w}]_{\mathcal{W}} er et element i søjlerummet R(W[L]V)R({_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}) til matrixrepræsentationen W[L]V{_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}.

Bevis

Idet LWL_\mathcal{W} er en isomorfi, så er v∈V{\bm{v}} \in V et element i ker⁡(L)\ker(L) hvis og kun hvis
LW−1(L(v))=0.(8.49) L_\mathcal{W}^{-1}\big(L({\bm{v}})\big) = \bm{0}. \tag{8.49}
Men venstresiden af (8.49) er lig [L(v)]W[L({\bm{v}})]_{\mathcal{W}}, som ifølge Proposition 8.15(1.) også kan beskrives som
[L(v)]W=W[L]V⋅[v]V.(8.50) [L({\bm{v}})]_{\mathcal{W}} = {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} . \tag{8.50}
Dermed følger påstand (1.) umiddelbart.
Lad nu w\bm{w} betegne et element i WW. Hvis w\bm{w} er et element i billedet L(V)L(V), så eksisterer der et v∈V{\bm{v}} \in V, så w=L(v)\bm{w} = L({\bm{v}}). Som ovenfor har vi derfor
[w]W=[L(v)]W=W[L]V⋅[v]V,(8.51) [\bm{w}]_{\mathcal{W}} = [L({\bm{v}})]_{\mathcal{W}} = {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} , \tag{8.51}
og [w]W[\bm{w}]_{\mathcal{W}} er derfor et element i søjlerummet til W[L]V{_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}. Hvis omvendt [w]W[\bm{w}]_{\mathcal{W}} er et element i søjlerummet til W[L]V{_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}, så findes der en vektor a∈Fn\bm{a} \in \mathbb{F}^n (hvor nn betegner dimensionen af VV), så
[w]W=W[L]V⋅a.(8.52) [\bm{w}]_{\mathcal{W}} = {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot \bm{a}. \tag{8.52}
Sæt nu v=LV(a){\bm{v}} = L_\mathcal{V}(\bm{a}), og observer, at
[L(v)]W=W[L]V⋅[v]V=W[L]V⋅a=[w]W.\begin{aligned} [L({\bm{v}})]_{\mathcal{W}} & = {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} \\ & = {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot \bm{a} \\ & = [\bm{w}]_{\mathcal{W}}. \end{aligned}
Idet LWL_\mathcal{W} er en isomorfi, så følger det dermed, at w=L(v)\bm{w}=L({\bm{v}}), og w\bm{w} er derfor et element i billedet af LL som ønsket.
Lad L:V→WL : V \rightarrow W betegne en lineær afbildning og lad V\mathcal{V} og W\mathcal{W} betegne baser for hhv. VV og WW. Lad rr betegne rangen af matrixrepræsentationen W[L]V{_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}. Så gælder:
  1. Afbildningen
    ker⁡L→N(W[L]V),v↦[v]V,(8.53) \begin{aligned} \ker{L} & \rightarrow N({_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}), \\ {\bm{v}} & \mapsto [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}}, \end{aligned} \tag{8.53}
    er veldefineret og en lineær isomorfi. Specielt er: dim(ker⁡(L))=dim(V)−r\mathrm{dim}\big(\ker(L)\big)= \mathrm{dim}( V )-r.
  2. Afbildningen
    L(V)→R(W[L]V),v↦[v]W,(8.54) \begin{aligned} L(V) & \rightarrow R({_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}), \\ {\bm{v}} & \mapsto [{\bm{v}}]_{\mathcal{W}}, \end{aligned} \tag{8.54}
    er veldefineret og en lineær isomorfi. Specielt er: dim(L(V))=r\mathrm{dim}\big( L(V) \big)= r.

Bevis

At de angivne afbildninger er veldefinerede er en konsekvens af Lemma 8.23. Begge afbildninger er tilmed injektive lineære transformationer, idet koordinatiseringsafbildningerne [⋅]V[\cdot]_{\mathcal{V}} og [⋅]W[\cdot]_{\mathcal{W}} begge opfylder dette.
For at vise surjektiviteten af (8.53) så lader vi a\bm{a} betegne et element i nulrummet for W[L]V{_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}, og lader herefter v∈V{\bm{v}} \in V betegne LV(a)L_\mathcal{V}(\bm{a}). Så vil [v]V=a[{\bm{v}}]_{\mathcal{V}}=\bm{a}, og v{\bm{v}} er derfor et element i ker⁡(L)\ker(L) ifølge Lemma 8.23. Specielt viser identiteten [v]V=a[{\bm{v}}]_{\mathcal{V}}=\bm{a} også, at a\bm{a} er i billedet for (8.53). Vi konkluderer dermed, at (8.53) er surjektiv. At (8.54) er surjektiv vises på tilsvarende vis. Vi konkluderer, at (8.53) og (8.54) er isomorfier.
Dimensionsudsagnene er nu er konsekvens af Proposition 6.20 og Korollar 7.36.
Lad L:V→WL : V \rightarrow W betegne en lineær afbildning og lad V\mathcal{V} og W\mathcal{W} betegne baser for hhv. VV og WW. Så er LL en lineær isomorfi hvis og kun hvis W[L]V{_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} er en invertibel (kvadratisk) matrix. I givet fald er
V[L−1]W=(W[L]V)−1. {_{\mathcal{V}}}[{L^{-1}}]_{\mathcal{W}} = ( {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} )^{-1}.

Lad L:P2(R)→P2(R)L : P_2(\mathbb{R}) \rightarrow P_2(\mathbb{R}) betegne en lineær operator på det reelle vektorrum P2(R)P_2(\mathbb{R}). Lad V\mathcal{V} betegne en basis for P2(R)P_2(\mathbb{R}) og antag, at
V[L]V=(1314). {_{\mathcal{V}}}[{L}]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}.
Angiv V[L−1]V{_{\mathcal{V}}}[{L^{-1}}]_{\mathcal{V}}
Dit svar: Det er en

Bevis

Antag, i første omgang, at LL er en lineær isomorfi. Så er dim(V)=dim(W)\mathrm{dim}(V)=\mathrm{dim}(W) ifølge Proposition 6.20. Specielt er W[L]V{_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} en kvadratisk matrix. Idet LL er injektiv må ker⁡(L)\ker(L) og dermed også nulrummet N(W[L]V)N({_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}) (jf. Proposition 8.24(1.)) være trivielt. Som konsekvens er W[L]V{_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} invertibel, jf. Proposition 4.6.
Antag omvendt, at W[L]V{_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} er kvadratisk og invertibel. Sæt n=dim(V)n=\mathrm{dim}(V). Så er nulrummet N(W[L]V)N({_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}) af dimension 00, og ker⁡(L)\ker(L) er dermed lig {0}\{ \bm{0} \}, jf. Proposition 8.24(1.). Vi konkluderer, at LL er injektiv, jf. Sætning 6.11. Ifølge Sætning 7.20 så er L(V)⊆WL(V) \subseteq W ydermere af dimension n=dim(W)n=\mathrm{dim}(W), og dermed må L(V)=WL(V)=W, jf. Proposition 7.16. Vi konkluderer, at LL både er injektiv og surjektiv og dermed en lineær isomorfi.
Dette viser den første del af det påståede udsagn. Antag nu, at LL er en lineær isomorfi mellem vektorrum af samme dimension nn, og lad L−1L^{-1} betegne den inverse lineære transformation. Ifølge Proposition 8.17 opnås nu
W[L]V⋅V[L−1]W=W[L∘L−1]W=W[IdW]W=I, {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot {_{\mathcal{V}}}[{L^{-1}}]_{\mathcal{W}} = {_{\mathcal{W}}}[{L \circ L^{-1}}]_{\mathcal{W}} = {_{\mathcal{W}}}[{{\rm Id}_W }]_{\mathcal{W}} = \mathrm{I},
hvor I\mathrm{I} betegner identitetsmatricen af størrelse nn. Specielt er den inverse til W[L]V{_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} lig V[L−1]W{_{\mathcal{V}}}[{L^{-1}}]_{\mathcal{W}}.
  1. Betragt det reelle vektorrum P3(R)P_3(\mathbb{R}) med basis V=(1,X,X2)\mathcal{V}=(1,X,X^2), og lad os beskrive kernen og billedet for den lineære operator
    D:P3(R)→P3(R),p(X)↦p′(X).\begin{aligned} D : P_3(\mathbb{R}) & \rightarrow P_3(\mathbb{R}), \\ p(X) & \mapsto p'(X). \end{aligned}
    Idet
    D(1)=0⋅1+0⋅X+0⋅X2,D(X)=1⋅1+0⋅X+0⋅X2,D(X2)=0⋅1+2⋅X+0⋅X2,\begin{aligned} D(1) & = 0 \cdot 1 + 0 \cdot X + 0 \cdot X^2, \\ D(X) & = 1 \cdot 1 + 0 \cdot X + 0 \cdot X^2, \\ D(X^2) & = 0 \cdot 1 + 2 \cdot X + 0 \cdot X^2, \\ \end{aligned}
    så finder vi, at
    V[D]V=(010002000).(8.55) {_{\mathcal{V}}}[{D}]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} . \tag{8.55}
    Ved anvendelse af metoderne beskrevet i Afsnit 7.3 så bestemmes en basis for nulrummet til V[D]V{_{\mathcal{V}}}[{D}]_{\mathcal{V}} til ((1,0,0)T)\big( (1,0,0)^T \big), mens søjlerummet har basis ((1,0,0)T,(0,2,0)T)\big( (1,0,0)^T, (0,2,0)^T \big). Idet
    LV((1,0,0)T)=1 og LV((0,2,0)T)=2X,(8.56) L_\mathcal{V} \big( (1,0,0)^T \big) = 1 \text{ og } L_\mathcal{V} \big( (0,2,0)^T \big) = 2X, \tag{8.56}
    så følger det, jf. Proposition 8.24, at (1)(1) er en basis for ker⁡(D)\ker(D), mens (1,2X)(1,2X) er en basis for billedet af DD. Specielt er ker⁡(D)\ker(D) lig mængden af konstante polynomier, mens billedet er lig underrummet P2(R)P_2(\mathbb{R}) i P3(R)P_3(\mathbb{R}).
  2. I Eksempel 8.16(5.) fandt vi matrixrepræsentationen
    Vnμ[D]Vnμ=(μ100⋯00μ20⋯000μ3⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮0000⋯n−10000⋯μ)(8.57) {_{{\mathcal{V}_n^\mu}}}[{D}]_{{\mathcal{V}_n^\mu}} = \begin{pmatrix} \mu & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \mu & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \mu & 3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & n-1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \mu \end{pmatrix} \tag{8.57}
    for den lineære operator D:Pnμ(C)→Pnμ(C)D : P_n^\mu (\mathbb{C}) \rightarrow P_n^\mu(\mathbb{C}) mht. basen Vnμ{\mathcal{V}_n^\mu}. Hvis μ≠0\mu \neq 0, så er Vnμ[D]Vnμ{_{{\mathcal{V}_n^\mu}}}[{D}]_{{\mathcal{V}_n^\mu}} invertibel, og D:Pnμ(C)→Pnμ(C)D : P_n^\mu (\mathbb{C}) \rightarrow P_n^\mu(\mathbb{C}) er dermed en invertibel afbildning (jf. Korollar 8.25).
    Tilfældet μ=0\mu =0 er en generalisering af situationen i Eksempel 8.26(1.), og det overlades til læseren at beskrive, hvad der sker i dette tilfælde.