8 Matrixrepræsentationer

I de euklidiske rum $\mathbb{R}^n$ er vi vant til at arbejde med indlagte koordinatsystemer. F.eks. skitserer man ofte planen $\mathbb{R}^2$ ved at tegne et tilhørende koordinatsystem bestående af to vinkelrette linjer kaldet $x$ -aksen og $y$ -aksen. Faktisk er man så vant til dette billede, at man let glemmer, at koordinatsystemet ikke er en del af mængden $\mathbb{R}^2$ . Koordinatsystemet bruges alene til at navngive punkter i $\mathbb{R}^2$ ud fra dets tilhørende koordinater. For et generelt $\mathbb{F}$ -vektorrum er basisbegrebet den naturlige generalisering af koordinatsystemer. En basis $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2, \ldots,{\bm{v}}_n)$ for et $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ giver anledning til en bijektiv afbildning

$\begin{aligned} L_\mathcal{V} : \mathbb{F}^n & \rightarrow V, \\ \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} & \mapsto \alpha_1 \cdot {\bm{v}}_1 + \alpha_2 \cdot {\bm{v}}_2 + \ldots + \alpha_n \cdot {\bm{v}}_n. \end{aligned}$ Idet $L_\mathcal{V}$ er bijektiv, så vil punkterne i $V$ svare 1-1 til punkterne i $\mathbb{F}^n$ , og vi kan derfor bruge elementerne i $\mathbb{F}^n$ til at navngive elementerne i $V$ . Idet $L_\mathcal{V}$ er lineær, så er denne navngivning ydermere så fin, at addition og skalarmultiplikation i $V$ og $\mathbb{F}^n$ er kompatible (se Proposition 8.4 for den præcise betydning). I praksis betyder dette, at så snart man har valgt en basis for $V$ , så kan man identificere $V$ med $\mathbb{F}^n$ .

Betragt det reelle vektorrum $P_2(\mathbb{R})$ af reelle polynomier af grad $<2$ . Polynomierne $p_1= 1$ og $p_2=X$ udgør elementerne i en basis $\mathcal{V}=(p_1,p_2)$ for $P_2(\mathbb{R})$ . Den tilsvarende identificering (eller navngivning) af $P_2(\mathbb{R})$ med $\mathbb{R}^2$ er givet ved afbildningen

$\begin{aligned} L_\mathcal{V} : \mathbb{R}^2 & \rightarrow P_2(\mathbb{R}), \\ \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} & \mapsto \alpha + \beta X. \end{aligned}$ Vi identificerer altså et polynomium $\alpha + \beta X$ med vektoren $(\alpha,\beta)^T \in \mathbb{R}^2$ .

F.eks. identificeres polynomiet $2+X$ med $(2,1)^T$ , mens $1+3 X$ identificeres med $(1,3)^T$ . Kompatibiliteten med addition betyder her, at summen $3+4X$ af $2+X$ og $1+3X$ identificeres med summen $(3,4)^T$ af $(2,1)^T$ og $(1,3)^T$ .

Havde vi i stedet valgt basen $\mathcal{W}=(1, 1+X)$ , så ville den valgte identifikation være givet ved

$\begin{aligned} L_\mathcal{W} : \mathbb{R}^2 & \rightarrow P_2(\mathbb{R}), \\ \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} & \mapsto \alpha + \beta (1+X) = (\alpha+\beta)+ \beta X. \end{aligned}$ Med denne identificering opfattes polynomierne $2+X$ og $1+3X$ som hhv. vektorerne $(1,1)^T$ og $(-2,3)^T$ .

Ovenstående eksempel illustrerer, at den betragtede identificering af $V$ med $\mathbb{F}^n$ afhænger af den valgte basis. Faktisk er dette en vigtig pointe, idet et smart valg af basis kan simplificere visse problemstillinger voldsomt. Vi illustrerer denne pointe med et eksempel.

Betragt den lineære operator

$\begin{aligned} L : P_3(\mathbb{R}) & \rightarrow P_3(\mathbb{R}), \\ p(X) & \mapsto (X+1)^2 p''(X) + (X+1) p'(X) + p(X), \end{aligned} \tag{8.1}$ og lad os antage, at vi ønsker at beskrive sammensætningerne $L^i = L \circ L \circ \ldots \circ L$ for $i \geq 0$ . I princippet kan $L^i$ bestemmes ved konkrete beregninger ud fra beskrivelsen (8.1), men i praksis så er dette kun muligt for små værdier af $i$ .

Lad os angribe opgaven ved at udtrykke $L$ ved hjælp af en basis for $P_3(\mathbb{R})$ . I første omgang betragtes basen

$\mathcal{V}=(1, X , X^2) \tag{8.2}$ for $P_3(\mathbb{R})$ . Dette giver anledning til en isomorfi

$\begin{aligned} L_\mathcal{V} : \mathbb{R}^3 & \rightarrow P_3(\mathbb{R}), \\ (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)^T & \mapsto \alpha_1 + \alpha_2 X + \alpha_3 X^2, \end{aligned}$ som vi kan bruge til at identificere elementer i $\mathbb{R}^3$ og $P_3(\mathbb{R})$ . Idet

$\begin{aligned} L(\alpha_1 + \alpha_2 X + \alpha_3 X^2) ={} & (X+1)^2 (2 \alpha_3) + (X+1) (\alpha_2 + 2 \alpha_3 X) + \alpha_1 \\ & + \alpha_2 X + \alpha_3 X^2 \\ ={} & (2 \alpha_3 + \alpha_2 + \alpha_1)+ (6 \alpha_3 + 2 \alpha_2) X + 5 \alpha_3 X^2, \end{aligned}$ så svarer $L$ , med den valgte identificering, til den lineære afbildning

$\begin{aligned} L_A : \mathbb{R}^3 & \rightarrow \mathbb{R}^3, \\ \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{pmatrix} & \mapsto \begin{pmatrix} 2 \alpha_3 + \alpha_2 + \alpha_1 \\ 6 \alpha_3 + 2 \alpha_2 \\ 5 \alpha_3 \end{pmatrix} , \end{aligned}$ defineret ved matricen

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} . \tag{8.3}$ At beskrive $L^i$ , via den valgte identificering af $P_3(\mathbb{R})$ med $\mathbb{R}^3$ , svarer altså til at beregne potenser $A^i$ af $A$ . Desværre er det heller ikke klart, hvordan $A^i$ er givet for store værdier af $i$ . Vi påstår, at situationen er mere overskuelig, hvis vi i stedet for $\mathcal{V}$ havde valgt basen

$\mathcal{W} = ( 1, (X+1), (X+1)^2) \tag{8.4}$ for $P_3(\mathbb{R})$ . For denne basis ville man identificere $P_3(\mathbb{R})$ med $\mathbb{R}^3$ via isomorfien

$\begin{aligned} L_\mathcal{W} : \mathbb{R}^3 & \rightarrow P_3(\mathbb{R}), \\ (\beta_1,\beta_2, \beta_3 )^T & \mapsto \beta_1 + \beta_2 (X+1) + \beta_3 (X+1)^2. \end{aligned}$ Idet

$\begin{aligned} L(\beta_1 &+ \beta_2 (X+1) + \beta_3 (X+1)^2 ) \\ ={} & (X+1)^2 (2 \beta_3) + (X+1) (\beta_2 + 2 \beta_3 (X+1) ) \\ & + \beta_1 + \beta_2 (X+1) + \beta_3 (X+1)^2 \\ ={} & \beta_1+ 2 \beta_2 (X+1) + 5 \beta_3 (X+1)^2 , \end{aligned}$ så vil $L$ , via identificering vha. $\mathcal{W}$ , svare til afbildningen

$\begin{aligned} L_B : \mathbb{R}^3 & \rightarrow \mathbb{R}^3, \\ \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{pmatrix} & \mapsto \begin{pmatrix} \beta_1 \\ 2 \beta_2 \\ 5 \beta_3 \end{pmatrix} , \end{aligned}$ defineret ved matricen

$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} . \tag{8.5}$ I dette tilfælde er $B$ diagonal, og vilkårlige potenser af $B$ bestemmes derfor let

$B^i = \begin{pmatrix} 1^i & 0 & 0 \\ 0 & 2^i & 0 \\ 0 & 0 & 5^i \end{pmatrix} . \tag{8.6}$ Specielt har vi dermed også en fornuftig beskrivelse af potenserne $L^i$ .

Den præcise betydning af den ovenfor diskuterede navngivning er givet ved følgende begreb.

[Koordinatvektorer] Lad $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1, \ldots, {\bm{v}}_n)$ betegne en basis for et $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ . Med koordinatvektoren for et element ${\bm{v}} \in V$ mht. basen $\mathcal{V}$ menes elementet $L_\mathcal{V}^{-1}({\bm{v}}) \in \mathbb{F}^n$ . Koordinatvektoren betegnes også med $[{\bm{v}}]_{\mathcal{V}}$ ; dvs. $[{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} = L_\mathcal{V}^{-1}({\bm{v}})$ .

Betragt basen $\mathcal{V}=(1,1+X)$ for det reelle vektorrum $P_2(\mathbb{R})$ bestående af polynomier af grad $<2$ . Angiv kooordinatvektoren $[p]_{\mathcal{V}}$ for polynomiet $p=3+7X$ mht. basen $\mathcal{V}$ .

Dit svar: Det er en

Vi bemærker, at koordinatvektoren $[{\bm{v}}]_\mathcal{V}$ for et element ${\bm{v}} \in V$ er karakteriseret som den vektor

$\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^n, \tag{8.7}$ der opfylder relationen

${\bm{v}} = \alpha_1 \cdot {\bm{v}}_1 + \alpha_2 \cdot {\bm{v}}_2 + \ldots + \alpha_n \cdot {\bm{v}}_n. \tag{8.8}$

Lad $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n)$ betegne en basis for et $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ . Afbildningen

$\begin{aligned} [\cdot]_{\mathcal{V}}: V & \rightarrow \mathbb{F}^n \\ {\bm{v}} & \mapsto [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} \end{aligned}$ er en lineær transformation; dvs.

$[\alpha \cdot {\bm{v}}]_{\mathcal{V}} = \alpha \cdot [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}}$ , for alle $\alpha \in \mathbb{F}$ og ${\bm{v}} \in V$ .
$[{\bm{v}} + \bm{w}]_{\mathcal{V}} = [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} + [\bm{w}]_{\mathcal{V}}$ , for alle ${\bm{v}}, \bm{w} \in V$ .

Bevis

Dette følger af Proposition 6.16, idet $L_\mathcal{V}$ er en bijektiv lineær transformation med invers $[\cdot]_{\mathcal{V}}$ .

Lad $\mathcal{E}$ betegne standardbasen for vektorrummet $\mathbb{F}^n$ (jf. Eksempel 7.7 (6.)). Så er

$[{\bm{v}}]_{\mathcal{E}} = {\bm{v}} \tag{8.9}$ for alle ${\bm{v}} \in \mathbb{F}^n$ .

Såfremt man udover $\mathcal{V}$ også arbejder med en anden basis $\mathcal{W}=(\bm{w}_1,\bm{w}_2,\ldots,\bm{w}_n)$ for $V$ , så kan man tilsvarende definere koordinatvektoren $[{\bm{v}}]_{\mathcal{W}}$ mht. $\mathcal{W}$ . Koordinatvektorerne $[{\bm{v}}]_{\mathcal{W}}$ og $[{\bm{v}}]_{\mathcal{V}}$ er ikke nødvendigvis ens, men vi vil i det følgende beskrive, hvordan de er forbundet. I først omgang indfører vi følgende begreb.

[Koordinattransformationsmatrix] Lad $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,\ldots,{\bm{v}}_n)$ og $\mathcal{W}= ( \bm{w}_1,\ldots, \bm{w}_n)$ betegne baser for et $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ . Koordinattransformationsmatricen for overgangen fra $\mathcal{W}$ -basen til $\mathcal{V}$ -basen defineres som matricen

${_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ [\bm{w}_1]_{\mathcal{V}} & [\bm{w}_2]_{\mathcal{V}} & \cdots & [\bm{w}_n]_{\mathcal{V}} \\ | & | & & | \end{pmatrix} \in \mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F}). \tag{8.10}$

Betragt de to baser $\mathcal{V} = (1, X, X^{2})$ og $\mathcal{W} = (1, 1 + X, 2 + X^{2})$ for det reelle vektorrum $P_3(\mathbb{R})$ bestående af polynomier af grad $\leq 2$ . Angiv koordinattransformationsmatricen for overgangen fra $\mathcal{W}$ -basen til $\mathcal{V}$ -basen.

Dit svar: Det er en

Quiz

Betragt det reelle vektorrum $\mathbb{R}^2$ og de to baser

$\mathcal{V} = ( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}), \text{ } \mathcal{W} = ( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}).$ Lad ${\bm{v}} = \begin{pmatrix} 11 \\ 16 \end{pmatrix}$ . Så er $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ koordinatvektoren for ${\bm{v}}$ mht.

, mens

er koordinatvektoren for ${\bm{v}}$ mht.

. Koordinattransformationsmatricen for overgangen fra $\mathcal{V}$ -basen til $\mathcal{W}$ -basen er lig

$\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \end{pmatrix}$

$\mathcal{W}$

$\mathcal{V}$

At koordinattransformationsmatricen ${_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}}$ er central i beskrivelsen af sammenhængen mellem $[{\bm{v}}]_{\mathcal{V}}$ og $[{\bm{v}}]_{\mathcal{W}}$ , følger af nedenstående resultat.

Lad $\mathcal{V}$ , $\mathcal{U}$ og $\mathcal{W}$ betegne baser for et $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ . Så

$[{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} = {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} \cdot [{\bm{v}}]_{\mathcal{W}}$ for ${\bm{v}} \in V$ .
Hvis $A \in \mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F})$ opfylder relationen
$[{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} = A \cdot [{\bm{v}}]_{\mathcal{W}},$ for alle ${\bm{v}} \in V$ , så er $A = {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}}$ .
${_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{V}}$ er identitetsmatricen.
${_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} \cdot {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{U}} = {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{U}}$ .
${_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}}$ er invertibel med invers ${_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}}$ .

Bevis

Lad ${\bm{v}}$ betegne en vektor i $V$ . Idet $\mathcal{W}$ er en basis for $V$ , så vil

${\bm{v}} = \alpha_1 \cdot \bm{w}_1 + \alpha_2 \cdot \bm{w}_2 + \cdots + \alpha_n \cdot \bm{w}_n, \tag{8.11}$ for passende skalarer $\alpha_1,\alpha_2, \ldots, \alpha_n \in \mathbb{F}$ . Koordinatvektoren for ${\bm{v}}$ mht. basen $\mathcal{W}$ er da givet ved

$[{\bm{v}}]_{\mathcal{W}} = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} . \tag{8.12}$ Idet den $i$ 'te søjle i ${_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}}$ er givet ved $[\bm{w}_i]_{\mathcal{V}}$ , så følger det af identiteten (5.23), at

$\begin{aligned} {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} \cdot [{\bm{v}}]_{\mathcal{W}} & = \alpha_1 \cdot [\bm{w}_1]_{\mathcal{V}} + \alpha_2 \cdot [\bm{w}_2]_{\mathcal{V}} + \cdots + \alpha_n \cdot [\bm{w}_n]_{\mathcal{V}} \\ & = [\alpha_1 \cdot \bm{w}_1 + \alpha_2 \cdot \bm{w}_2 + \cdots + \alpha_n \cdot \bm{w}_n]_{\mathcal{V}} \\ & = [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}}, \end{aligned}$ hvor vi undervejs har brugt Proposition 8.4 samt identiteten (8.11). Dette viser udsagn (1.).

Lad nu $A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F})$ betegne en matrix der opfylder identiteten i udsagn (2.). Bemærk da, at $[\bm{w}_i]_{\mathcal{W}} = \bm{e}_i$ , for $i=1,2, \ldots,n$ , og derfor må

$[\bm{w}_i]_{\mathcal{V}} = A \cdot [\bm{w}_i]_{\mathcal{W}} = A \cdot \bm{e}_i.$ Men $A \cdot \bm{e}_i$ er identisk med den $i$ 'te søjle i $A$ jf. (5.23), og dermed konkluderes det, at de $i$ 'te søjler i $A$ og ${_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}}$ er ens, for $i=1,2,\ldots,n$ . Specielt er $A= {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}}$ , hvilket viser udsagn (2.).

Udsagn (3.) følger nu fra udsagn (2.) (anvendt på tilfældet $\mathcal{V}=\mathcal{W}$ ) idet

$[{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} = \mathrm{I} \cdot [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}}, \tag{8.13}$ for alle ${\bm{v}} \in V$ . For at indse udsagn (4.) bemærker vi, at der, for alle ${\bm{v}} \in V$ , gælder

$\begin{aligned} ( {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} \cdot {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{U}} ) \cdot [{\bm{v}}]_\mathcal{U} & = {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} \cdot ( {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{U}} \cdot [{\bm{v}}]_\mathcal{U}) \\ & = {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} \cdot [{\bm{v}}]_\mathcal{V} && \\ & = [{\bm{v}}]_\mathcal{W} && \end{aligned}$ hvor de sidste to lighedstegn følger ved anvendelse af udsagn (1.). Dermed følger (4.) fra udsagn (2.). Endelig implicerer (3.) og (4.) (anvendt på tilfældet $\mathcal{U}=\mathcal{W}$ ), at

${_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} \cdot {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} = {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{W}}=\mathrm{I}, \tag{8.14}$ og dermed er (5.) opfyldt.

Quiz

Lad $V$ betegne et $\mathbb{F}$ -vektorrum med baser $\mathcal{U}$ , $\mathcal{V}$ og $\mathcal{W}$ . Antag, at

${_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \text{ og at } {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{U}} = \begin{pmatrix} 10 & 13 \\ 22 & 29 \end{pmatrix}.$ Angiv koordinattransformationsmatricen ${_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{U}}.$

Dit svar: Det er en

Lad $\mathcal{V}= ({\bm{v}}_1, \ldots, {\bm{v}}_n)$ betegne en basis for $\mathbb{F}^n$ . Så er koordinattransformationsmatricen ${_{\mathcal{E}}}[{\square}]_{\mathcal{V}}$ fra $\mathcal{V}$ -basen til standardbasen $\mathcal{E}$ (jf. Eksempel 7.7 (6.)), lig
${_{\mathcal{E}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ {\bm{v}}_1 & {\bm{v}}_2 & \cdots & {\bm{v}}_n \\ | & | & & | \end{pmatrix} . \tag{8.15}$ Dette følger fra Definition 8.6 idet
$[{\bm{v}}_i]_{\mathcal{E}} = {\bm{v}}_i \tag{8.16}$ for $i=1, \ldots, n$ jf. Eksempel 8.5. Specielt er koordinattransformationsmatricen ${_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{E}}$ lig den inverse til matricen $\Big({\bm{v}}_1 | {\bm{v}}_2 | \ldots | {\bm{v}}_n\Big)$ , jf. Proposition 8.8 (5.).
I Eksempel 8.2 arbejdede vi med to forskellige baser $\mathcal{V}=(1,X,X^2)$ og $\mathcal{W}=(1,X+1,(X+1)^2)$ for det reelle vektorrum $P_3(\mathbb{R})$ . Idet
$\begin{aligned} 1 & = 1 \cdot 1 + 0 \cdot X + 0 \cdot X^2,\\ X+1 &= 1 \cdot 1 + 1 \cdot X + 0 \cdot X^2 , \\ (X+1)^2 & = 1 \cdot 1+ 2 \cdot X + 1 \cdot X^2,\\ \end{aligned}$ så følger det, at
$[1]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \quad [X+1]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \quad [(X+1)^2]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} , \tag{8.17}$ og dermed, ifølge Definition 8.6, at
${_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} . \tag{8.18}$ Matricen ${_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}}$ er sværere at bestemme direkte, men hvis vi udnytter, at ${_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}}$ er den inverse matrix til ${_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}}$ , så kan vi bestemme ${_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}}$ via metoderne beskrevet i forbindelse med Proposition 4.12. Vi udfører derfor elementære rækkeoperationer, og opnår
$\begin{pmatrix} \begin{array}{c | c} \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} \begin{array}{c | c} \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} , \tag{8.19}$ hvoraf det konkluderes, at
${_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} . \tag{8.20}$ Af dette aflæser vi bl.a., at
$[X^2]_{\mathcal{W}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} , \tag{8.21}$ hvilket er ækvivalent med, at
$X^2 = 1 \cdot 1 -2 \cdot (X+1) + 1 \cdot (X+1)^2. \tag{8.22}$
Betragt vektorerne
$\bm{w}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} , \quad \bm{w}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix},$ i $\mathbb{R}^2$ . Det tjekkes let, at $\mathcal{W}=(\bm{w}_1,\bm{w}_2)$ er en basis for $\mathbb{R}^2$ , og at
${_{\mathcal{E}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix}.$ Tilsvarende så kan det tjekkes, at $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2)$ med
${\bm{v}}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} , \quad {\bm{v}}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix},$ er en basis for $\mathbb{R}^2$ , og at
${_{\mathcal{E}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}.$ Vi finder altså, jf. Proposition 8.8, at
$\begin{aligned} {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} & = {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{E}} \cdot {_{\mathcal{E}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} \\ &= {_{\mathcal{E}}}[{\square}]_{\mathcal{W}}^{-1} \cdot {_{\mathcal{E}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix}. \end{aligned}$

8.1 Matrixrepræsentationer

Vi har tidligere set, jf. Lemma 6.23, at enhver lineær afbildning $L : \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}^m$ , kan beskrives som multiplikation med en matrix $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ . Matricen $A$ er ydermere entydigt bestemt, og kaldes for standardmatrixrepræsentationen (eller blot SMR) af $L$ . Dette leder frem til følgende definition.

[Standardmatrixrepræsentation (SMR)] For en lineær afbildning $L : \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}^m$ kaldes matricen

$\mathcal{M}(L) = \begin{pmatrix} L(\bm{e}_1) | L(\bm{e}_2) | \cdots | L(\bm{e}_n) \end{pmatrix} \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ for standardmatrixrepræsentationen (SMR) af $L$ .

Følgende observation er da en direkte konsekvens af Lemma 6.23.

Lad $L: \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}^m$ betegne en lineær transformation med SMR lig $\mathcal{M}(L)$ . Så vil

$L({\bm{v}}) = \mathcal{M}(L) \cdot {\bm{v}} \tag{8.23}$ for ${\bm{v}} \in \mathbb{F}^n$ .

Betragt nu en generel lineær afbildning

$L : V \rightarrow W, \tag{8.24}$ mellem $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ og $W$ af endelige dimensioner $>0$ . Hvis vi indfører baser $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n)$ og $\mathcal{W}=(\bm{w}_1,\bm{w}_2,\ldots,\bm{w}_m)$ for hhv. $V$ og $W$ , så kan vi (via koordinatvektorer) identificere $V$ og $W$ med hhv. $\mathbb{F}^n$ og $\mathbb{F}^m$ , og på den måde opfatte $L$ som en afbildning, hvortil der hører en SMR. Det præcise billede er gengivet i følgende diagram:

Ideen er nu, at SMR af den lineære afbildning $L_\mathcal{W}^{-1} \circ L \circ L_\mathcal{V}$ er relateret til egenskaber for $L$ . I den forbindelse bemærker vi, at

$(L_\mathcal{W}^{-1} \circ L \circ L_\mathcal{V})(\bm{e}_i) = (L_\mathcal{W}^{-1} \circ L)({\bm{v}}_i) = L_\mathcal{W}^{-1}\big(L({\bm{v}}_i)\big) = [L({\bm{v}}_i)]_{\mathcal{W}}, \tag{8.25}$ og i betragtning af Definition 8.11, så definerer vi derfor følgende:

[Matrixrepræsentation] Lad $L : V \rightarrow W$ betegne en lineær afbildning mellem $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ og $W$ med baser hhv. $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,\ldots,{\bm{v}}_n)$ og $\mathcal{W}= ( \bm{w}_1,\ldots,\bm{w}_m)$ . Matrixrepræsentationen for $L$ mht. baserne $\mathcal{V}$ og $\mathcal{W}$ defineres da som matricen

${_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ [L({\bm{v}}_1)]_\mathcal{W} & [L({\bm{v}}_2)]_\mathcal{W} & \cdots & [L({\bm{v}}_n)]_\mathcal{W} \\ | & | & & | \end{pmatrix} \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F}). \tag{8.26}$

Lad hhv. $\mathcal{V}=(1,2X+1)$ og $\mathcal{W}=(\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix})$ betegne baser for de to reelle vektorrum $V=P_2(\mathbb{R})$ og $W= \mathbb{R}^2$ . Betragt den lineære transformation

$\begin{aligned} L : P_2(\mathbb{R}) & \rightarrow \mathbb{R}^2. \\ p & \mapsto \begin{pmatrix} p(0) \\ p(1) \end{pmatrix} \end{aligned}$ Angiv matrixrepræsentationen ${_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}$ .

Dit svar: Det er en

Lad $L : V \rightarrow W$ betegne en lineær afbildning mellem $\mathbb{F}$ -vektorrum $V$ og $W$ med baser hhv. $\mathcal{V}$ og $\mathcal{W}$ . Så gælder:

$[L({\bm{v}})]_{\mathcal{W}} = {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot [{\bm{v}}]_\mathcal{V}$ for alle ${\bm{v}} \in V$ .
Hvis $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ opfylder relationen
$[L({\bm{v}})]_\mathcal{W} = A \cdot [{\bm{v}}]_\mathcal{V} ,$ for alle ${\bm{v}} \in V$ , så er $A = {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}$ .

Bevis

Lad $\mathcal{V}$ og $\mathcal{W}$ være givet ved hhv. $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2,\ldots,{\bm{v}}_n)$ og $\mathcal{W}=(\bm{w}_1,\bm{w}_2,\ldots,\bm{w}_m)$ . Idet $\mathcal{V}$ er en basis for $V$ , så vil ethvert element ${\bm{v}} \in V$ kunne skrives som

${\bm{v}} = \alpha_1 \cdot {\bm{v}}_1 + \alpha_2 \cdot {\bm{v}}_2 + \cdots + \alpha_n \cdot {\bm{v}}_n, \tag{8.27}$ for passende skalarer $\alpha_1,\alpha_2, \ldots, \alpha_n \in \mathbb{F}$ . Specielt vil

$L({\bm{v}}) = \alpha_1 \cdot L({\bm{v}}_1) + \alpha_2 \cdot L({\bm{v}}_2) + \cdots + \alpha_n \cdot L({\bm{v}}_n),$ jf. egenskaberne for en lineær transformation. Ifølge egenskaberne for koordinatvektorer beskrevet i Proposition 8.4 så konkluderer vi, at

$[L({\bm{v}})]_{\mathcal{W}} = \alpha_1 \cdot [L({\bm{v}}_1)]_{\mathcal{W}} + \alpha_2 \cdot [L({\bm{v}}_2)]_{\mathcal{W}} + \cdots + \alpha_n \cdot [L({\bm{v}}_n)]_{\mathcal{W}}. \tag{8.28}$ Men jf. (5.23) så kan højresiden af (8.28) også beskrives som produktet

${_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} = {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}},$ hvor det sidste lighedstegn følger af (8.27). Hermed er udsagn (1.) vist.

Antag nu, at en matrix $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ opfylder egenskaben i udsagn (2.). Hermed vil der specielt gælde, at

$[L({\bm{v}}_i)]_{\mathcal{W}} = A \cdot [{\bm{v}}_i]_{\mathcal{V}} =A \cdot \bm{e}_i, \tag{8.29}$ for ethvert $i=1,2,\ldots,n$ . Men jf. (5.23), så er højresiden i (8.29) også lig den $i$ 'te søjle i $A$ . Venstresiden i (8.29) er derimod lig den $i$ 'te søjle i ${_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}$ , og derfor må $A = {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}$ som påstået.

Hvis $V$ betegner et vektorrum med to baser $\mathcal{V}$ og $\mathcal{W}$ , så er matrixrepræsentationen for identitetsafbildningen ${\rm Id} : V \rightarrow V$ lig
${_{\mathcal{W}}}[{{\rm Id}}]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ [{\bm{v}}_1]_{\mathcal{W}} & [{\bm{v}}_2]_{\mathcal{W}} & \cdots & [{\bm{v}}_n]_{\mathcal{W}} \\ | & | & & | \end{pmatrix} = {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} ,$ dvs. identisk med koordinattransformationsmatricen ${_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}}$ .
I Eksempel 8.2 beskrev vi to matrixrepræsentationer $A$ og $B$ hørende til en lineær operator $L : P_3(\mathbb{R}) \rightarrow P_3(\mathbb{R})$ . Med notation som i Eksempel 8.2 så er forbindelsen til ovenstående notation givet ved, at ${_{\mathcal{V}}}[{L}]_{\mathcal{V}} =A$ og ${_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{W}} =B$ .
Lad $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1,{\bm{v}}_2)$ og $\mathcal{W}=(\bm{w}_1,\bm{w}_2)$ betegne baser for hhv. $\mathbb{R}^2$ og $\mathbb{R}^2$ , og lad $L : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ betegne en lineær transformation, der opfylder, at
$L({\bm{v}}_1) = \bm{w}_1 + 2 \bm{w}_2 \text{ og } L({\bm{v}}_2) = 3 \bm{w}_1 + 4 \bm{w}_2.$ Specielt er
$\begin{aligned} [L({\bm{v}}_1)]_{\mathcal{W}} & = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ [L({\bm{v}}_2)]_{\mathcal{W}} & = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{aligned}$ og matrixrepræsentationen ${_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}$ er dermed lig
${_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{pmatrix},$ jf. Definition 8.6. Betragt nu en vektor ${\bm{v}} \in V$ på formen ${\bm{v}} = \alpha_1 {\bm{v}}_1 + \alpha_2 {\bm{v}}_2$ , for skalarer $\alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{F}$ . Så
$\begin{aligned} L({\bm{v}}) & = \alpha_1 L({\bm{v}}_1) + \alpha_2 L({\bm{v}}_2) \\ & = \alpha_1 (\bm{w}_1 + 2 \bm{w}_2) + \alpha_2 (3 \bm{w}_1 + 4 \bm{w}_2) \\ & = (\alpha_1 + 3 \alpha_2) \bm{w}_1 + (2 \alpha_1 + 4 \alpha_2) \bm{w}_2, \end{aligned}$ hvoraf det følger, at
$\begin{aligned} [L({\bm{v}})]_{\mathcal{W}} & = \begin{pmatrix} \alpha_1 + 3 \alpha_2 \\ 2 \alpha_1 + 4 \alpha_2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \end{pmatrix} \\ & = {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}}. \end{aligned}$ Vi genfinder dermed formlen 8.15 (1.) i dette konkrete tilfælde.
Lad $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ betegne en matrix, og lad $L_A : \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}^m$ betegne den tilsvarende lineære afbildning. Idet $\mathcal{E}_n$ og $\mathcal{E}_m$ betegner standardbaserne for hhv. $\mathbb{F}^n$ og $\mathbb{F}^m$ (jf. Eksempel 7.7 (6.)), så er den tilsvarende matrixrepræsentation ${_{\mathcal{E}_m}}[{L_A}]_{\mathcal{E}_n}$ lig $A$ . Dette følger fra Definition 8.14, idet
$[L_A(\bm{e}_i)]_{\mathcal{E}_m} = L_A(\bm{e}_i) = A \cdot \bm{e}_i = i\text{'te søjle i } A. \tag{8.30}$ Standardmatrixrepræsentation $\mathcal{M}(L_A)=A$ for $L_A$ er altså lig matrixrepræsentationen for $L_A$ mht. standardbaserne for hhv. $\mathbb{F}^n$ og $\mathbb{F}^m$ .
I Eksempel 7.7 (5.) definerede vi $P_n^\mu(\mathbb{C})$ som underrummet i $C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{C})$ , udspændt af de lineært uafhængige funktioner
$h_{k,\mu}(t) = t^k \cdot e^{\mu \cdot t} \tag{8.31}$ for $t \in \mathbb{R}$ og for $k=0,1,2,\ldots, n-1$ . Idet de afledte af $h_{k,\mu}$ 'erne er lig (nedenfor skal $h_{-1,\mu}$ tolkes som nulfunktionen):
$h_{k,\mu}'(t) = k t^{k-1} e^{\mu \cdot t} + \mu t^k e^{\mu \cdot t} = k \cdot h_{k-1,\mu}(t) + \mu \cdot h_{k,\mu}(t), \tag{8.32}$ så vil differentiationsafbildningen inducere en lineær operator
$\begin{aligned} D : P_n^\mu(\mathbb{C}) & \rightarrow P_n^\mu(\mathbb{C}). \\ f & \mapsto f' \end{aligned}$ Den tilhørende matrixrepræsentation mht. basen $\mathcal{V}_n^{\mu}=(h_{0,\mu}, \ldots, h_{n-1,\mu})$ er da, ifølge Definition 8.14, lig
${_{{\mathcal{V}_n^\mu}}}[{D}]_{{\mathcal{V}_n^\mu}} = \begin{pmatrix} \mu & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \mu & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \mu & 3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & n-1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \mu \end{pmatrix} . \tag{8.33}$

8.2 Matrixrepræsentationer og kompositioner

Vi vil nu undersøge, hvordan matrixrepræsentationer opfører sig ifm. forskellige typer af kompositioner. Vi starter med at beskrive matrixrepræsentationer for sammensætninger af lineære afbildninger.

Lad $T : U \rightarrow V$ og $L : V \rightarrow W$ betegne lineære afbildninger mellem $\mathbb{F}$ -vektorrum. Lad samtidig $\mathcal{U}$ , $\mathcal{V}$ og $\mathcal{W}$ betegne baser for hhv. $U$ , $V$ og $W$ . Så

${_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot {_{\mathcal{V}}}[{T}]_{\mathcal{U}} = {_{\mathcal{W}}}[{L\circ T}]_{\mathcal{U}}. \tag{8.34}$

Bevis

Udsagnet følger ved anvendelse af karakteriseringen af matrixrepræsentationer beskrevet i Proposition 8.15 (2.). Vi sætter $A= {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot {_{\mathcal{V}}}[{T}]_{\mathcal{U}}$ , og bemærker, at

$\begin{aligned} A \cdot [\bm{u}]_{\mathcal{U}} & = ( {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot {_{\mathcal{V}}}[{T}]_{\mathcal{U}} ) \cdot [\bm{u}]_{\mathcal{U}} \\ & = {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot ({_{\mathcal{V}}}[{T}]_{\mathcal{U}} \cdot [\bm{u}]_{\mathcal{U}}) \\ & = {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot [T(\bm{u})]_{\mathcal{V}} && \text{(Proposition \href{#prop:matrixrelationerI}{8.15}\href{#item:prop:matrixrelationerI:a}{(1.)})} \\ & = [L(T(\bm{u}))]_{\mathcal{W}} && \text{(Proposition \href{#prop:matrixrelationerI}{8.15}\href{#item:prop:matrixrelationerI:a}{(1.)})} \\ & = [(L \circ T)(\bm{u})]_{\mathcal{W}} \end{aligned}$ for alle $\bm{u} \in U$ . Specielt opfylder $A$ betingelserne i Proposition 8.15 (2.) mht. den lineære transformation $L \circ T$ og baserne $\mathcal{W}$ og $\mathcal{U}$ . Hermed følger (8.34) af Proposition 8.15 (2.).

Lad $L : V \rightarrow W$ betegne en lineær afbildning mellem $\mathbb{F}$ -vektorrum. Lad $\mathcal{V}$ og $\mathcal{V}'$ betegne baser for $V$ , og lad $\mathcal{W}$ og $\mathcal{W}'$ betegne baser for $W$ . Så er

${_{{\mathcal{W}'}}}[{L}]_{{\mathcal{V}'}} = {_{{\mathcal{W}'}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} \cdot {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{{\mathcal{V}'}} . \tag{8.35}$

Lad $L : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ betegne en lineær operator på det reelle vektorrum $\mathbb{R}^2$ . Lad $\mathcal{V}$ og $\mathcal{W}$ betegne to baser for $\mathbb{R}^2$ , og antag, at

${_{\mathcal{V}}}[{L}]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \text{ og at } {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.$ Angiv ${_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{W}}$ .

Dit svar: Det er en

Bevis

Lad ${\rm Id}_V$ og ${\rm Id}_W$ betegne identitetsafbildningerne på hhv. $V$ og $W$ , og bemærk, jf. Eksempel 8.16 (1.), at

${_{{\mathcal{W}'}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} = {_{{\mathcal{W}'}}}[{{\rm Id}_W}]_{\mathcal{W}} \text{ og } {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{{\mathcal{V}'}} = {_{\mathcal{V}}}[{{{\rm Id}_V}}]_{{\mathcal{V}'}} \tag{8.36}$ Påstanden er nu en konsekvens af Proposition 8.17: i første omgang følger det, at

$\begin{aligned} {_{{\mathcal{W}'}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} \cdot {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} & = {_{{\mathcal{W}'}}}[{{\rm Id}_W}]_{\mathcal{W}} \cdot {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \\ & = {_{{\mathcal{W}'}}}[{{\rm Id}_W \circ L}]_{\mathcal{V}} \\ & = {_{{\mathcal{W}'}}}[{L}]_{\mathcal{V}} . \\ \end{aligned}$ Dernæst fås

$\begin{aligned} {_{{\mathcal{W}'}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} \cdot {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{{\mathcal{V}'}} & = {_{{\mathcal{W}'}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{{\mathcal{V}'}} \\ & = {_{{\mathcal{W}'}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot {_{\mathcal{V}}}[{{{\rm Id}_V}}]_{{\mathcal{V}'}} \\ & = {_{{\mathcal{W}'}}}[{L \circ {\rm Id}_V}]_{{\mathcal{V}'}} \\ & = {_{{\mathcal{W}'}}}[{L}]_{{\mathcal{V}'}} \end{aligned}$ som ønsket.

I Eksempel 8.16 (2.) fandt vi matrixrepræsentationer ${_{{\mathcal{V}}}}[{L}]_{{\mathcal{V}}}=A$ og ${_{{\mathcal{W}}}}[{L}]_{{\mathcal{W}}}=B$ for en konkret lineær operator $L : P_3(\mathbb{R}) \rightarrow P_3(\mathbb{R})$ hørende til to forskellige baser $\mathcal{V}$ og $\mathcal{W}$ . Herudover så har vi i Eksempel 8.10 (2.) beskrevet koordinattransformationsmatricerne ${_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}}$ og ${_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}}$ . Vi kan derfor direkte tjekke, at identiteten

$A = {_{\mathcal{V}}}[{\square}]_{\mathcal{W}} \cdot B \cdot {_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}}$ er opfyldt som påstået i Korollar 8.18.

I Eksempel 8.16 (5.) studerede vi differentiationsoperatoren $D$ på vektorrummene $P_n^\mu(\mathbb{C})$ , og beskrev de tilhørende matrixrepræsentationer ${_{{\mathcal{V}_n^\mu}}}[{D}]_{{\mathcal{V}_n^\mu}}$ . Sammensætningen $D^k$ af den lineære operator $D$ med sig selv $k$ gange er ligeledes en lineær operator på $P_n^\mu(\mathbb{C})$ . Den tilsvarende matrixrepræsentation mht. $\mathcal{V}_n^\mu$ er, ifølge Proposition 8.17, lig

${_{{\mathcal{V}_n^\mu}}}[{D^k}]_{{\mathcal{V}_n^\mu}} = \big( {_{{\mathcal{V}_n^\mu}}}[{D}]_{{\mathcal{V}_n^\mu}} \big)^k. \tag{8.37}$ Hvis f.eks. $n=2$ og $\mu=1$ , så er

${_{{\mathcal{V}_2^1}}}[{D^2}]_{{\mathcal{V}_2^1}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} ^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} . \tag{8.38}$

8.3 Beregninger af matrixrepræsentationer

Matrixrepræsentationer for lineære transformationer mellem vektorrum af formen $\mathbb{F}^n$ kan beregnes ved hjælp af elementære rækkeoperationer. Dette er beskrevet i følgende resultat.

Lad $L : \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}^m$ betegne en lineær transformation, og lad $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1, \ldots,{\bm{v}}_n)$ og $\mathcal{W}=(\bm{w}_1, \ldots, \bm{w}_m)$ betegne baser for hhv. $\mathbb{F}^n$ og $\mathbb{F}^m$ . Den opdelte matrix

$\begin{pmatrix} \begin{array}{c | c} \begin{matrix} | & | & & | \\ \bm{w}_1 & \bm{w}_2 & \cdots & \bm{w}_m\\ | & | & & | \end{matrix} & \begin{matrix} | & | & & | \\ L({\bm{v}}_1) & L({\bm{v}}_2) & \cdots & L({\bm{v}}_n)\\ | & | & & | \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} \tag{8.39}$ er da rækkeækvivalent med en entydig matrix på formen $(\mathrm{I}_m | A)$ , hvor $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ . Matricen $A$ er lig matrixrepræsentationen ${_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}$ .

Bevis

Påstanden følger ved anvendelse af Proposition 4.12, såfremt vi kan vise, at matricen

$W= \begin{pmatrix} | & | & & | \\ \bm{w}_1 & \bm{w}_2 & \cdots & \bm{w}_m \\ | & | & & | \end{pmatrix} \in \mathrm{Mat}_{m}(\mathbb{F}) \tag{8.40}$ er invertibel, og at

${_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} = W^{-1} \cdot \begin{pmatrix} | & | & & | \\ L({\bm{v}}_1) & L({\bm{v}}_2) & \cdots & L({\bm{v}}_n) \\ | & | & & | \end{pmatrix} . \tag{8.41}$ At $W$ er invertibel følger, idet $\mathcal{W}$ er en basis (jf. Proposition 7.4). Faktisk er $W$ lig koordinattransformationsmatricen ${_{\mathcal{E}}}[{\square}]_{\mathcal{W}}$ , jf. Eksempel 8.10 (1.), og dermed er $W^{-1}$ lig ${_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{E}}$ , jf. Proposition 8.8 (5.). Relationen (8.41) er dermed ækvivalent med, at

${_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{E}} \cdot L({\bm{v}}_i) = [ L({\bm{v}}_i)]_{\mathcal{W}} \tag{8.42}$ for $i=1,2,\ldots,n$ , ifølge Definition 8.14. Det sidste udsagn følger fra Proposition 8.8 (1.), idet $L({\bm{v}}_i) = [ L({\bm{v}}_i)]_{\mathcal{E}}$ (jf. Eksempel 8.5).

Betragt den lineære afbildning $L_A : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ defineret ved matricen
$A = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 3\\ 6 & -5 & 4 \end{pmatrix} . \tag{8.43}$ Vælg baser $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1, {\bm{v}}_2, {\bm{v}}_3)$ for $\mathbb{R}^3$ og $\mathcal{W}=(\bm{w}_1,\bm{w}_2)$ for $\mathbb{R}^2$ bestående af vektorerne
${\bm{v}}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\quad {\bm{v}}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} ,\quad {\bm{v}}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \tag{8.44}$ og
$\bm{w}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} , \quad \bm{w}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ \end{pmatrix} , \tag{8.45}$ og lad os anvende Proposition 8.21 til at beregne ${_{\mathcal{W}}}[{L_A}]_{\mathcal{V}}$ . Vi opskriver derfor matricen
$\begin{pmatrix} \begin{array}{ c | c} \begin{matrix} \mid & \mid \\ \bm{w}_1 & \bm{w}_2 \\ \mid & \mid \end{matrix} & \begin{matrix} \mid & \mid & \mid \\ L_A({\bm{v}}_1) & L_A({\bm{v}}_2) & L_A({\bm{v}}_3) \\ \mid & \mid & \mid \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{array}{ c | c} \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ 1 & -3 & 4 \\ \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} ,$ og udfører elementære rækkeoperationer, indtil vi opnår
$\begin{pmatrix} \begin{array}{c | c } \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1\\ \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} . \tag{8.46}$ Vi konkluderer dermed, at
${_{\mathcal{W}}}[{L_A}]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} . \tag{8.47}$
Vi kan også anvende Proposition 8.21 til at beregne koordinattransformationsmatricen ${_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}}$ mht. baser $\mathcal{V}=({\bm{v}}_1, \ldots, {\bm{v}}_n)$ og $\mathcal{W}=(\bm{w}_1,\ldots,\bm{w}_n)$ for $\mathbb{F}^n$ . Vi erindrer, at ${_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}}$ er identisk med matrixrepræsentationen ${_{\mathcal{W}}}[{{\rm Id}}]_{\mathcal{V}}$ ifølge Eksempel 8.16 (1.). Dermed er ${_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}}$ bestemt som matricen opfyldende, at $(\mathrm{I}_n|{_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}})$ er rækkeækvivalent med
$\begin{pmatrix} \begin{array}{ c | c } \begin{matrix} | & | & & | \\ \bm{w}_1 & \bm{w}_2 & \cdots & \bm{w}_n\\ | & | & & | \end{matrix} & \begin{matrix} | & | & & | \\ {\bm{v}}_1 & {\bm{v}}_2 & \cdots & {\bm{v}}_n\\ | & | & & | \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} . \tag{8.48}$ Hvis vi f.eks. betragter de to baser $\mathcal{V}$ og $\mathcal{W}$ for $\mathbb{R}^2$ i Eksempel 8.10 (3.), så vil
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} \begin{array}{ c | c } \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} & \sim \begin{pmatrix} \begin{array}{ c | c } \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \\ \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} \\ & \sim \begin{pmatrix} \begin{array}{ c | c } \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} -1 & 0 \\ -2 & -1 \\ \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} \\ & \sim \begin{pmatrix} \begin{array}{ c | c } \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \\ \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} \end{aligned}$ og vi genfinder derfor, at
${_{\mathcal{W}}}[{\square}]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix}.$

8.4 Beregninger af kerner og billeder via matrixrepræsentationer

Vi har tidligere set, hvordan man konkret kan bestemme kerner og billeder for lineære afbildninger mellem $\mathbb{F}$ -vektorrum af typen $\mathbb{F}^n$ (svarende til nulrum og søjlerum for de tilsvarende SMR). Matrixrepræsentationer giver os nu mulighed for at overføre disse resultater til mere generelle vektorrum. I den forbindelse er følgende resultat anvendeligt.

Lad $L : V \rightarrow W$ betegne en lineær afbildning, og lad $\mathcal{V}$ og $\mathcal{W}$ betegne baser for hhv. $V$ og $W$ . Så gælder:

Et element ${\bm{v}} \in V$ tilhører kernen $\ker(L)$ for $L$ hvis og kun hvis den tilsvarende koordinatvektor $[{\bm{v}}]_{\mathcal{V}}$ er et element i nulrummet $N({_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}})$ for matrixrepræsentationen ${_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}$ .
Et element $\bm{w} \in W$ tilhører billedet af $L$ hvis og kun hvis den tilsvarende koordinatvektor $[\bm{w}]_{\mathcal{W}}$ er et element i søjlerummet $R({_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}})$ til matrixrepræsentationen ${_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}$ .

Bevis

Idet $L_\mathcal{W}$ er en isomorfi, så er ${\bm{v}} \in V$ et element i $\ker(L)$ hvis og kun hvis

$L_\mathcal{W}^{-1}\big(L({\bm{v}})\big) = \bm{0}. \tag{8.49}$ Men venstresiden af (8.49) er lig $[L({\bm{v}})]_{\mathcal{W}}$ , som ifølge Proposition 8.15 (1.) også kan beskrives som

$[L({\bm{v}})]_{\mathcal{W}} = {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} . \tag{8.50}$ Dermed følger påstand (1.) umiddelbart.

Lad nu $\bm{w}$ betegne et element i $W$ . Hvis $\bm{w}$ er et element i billedet $L(V)$ , så eksisterer der et ${\bm{v}} \in V$ , så $\bm{w} = L({\bm{v}})$ . Som ovenfor har vi derfor

$[\bm{w}]_{\mathcal{W}} = [L({\bm{v}})]_{\mathcal{W}} = {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} , \tag{8.51}$ og $[\bm{w}]_{\mathcal{W}}$ er derfor et element i søjlerummet til ${_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}$ . Hvis omvendt $[\bm{w}]_{\mathcal{W}}$ er et element i søjlerummet til ${_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}$ , så findes der en vektor $\bm{a} \in \mathbb{F}^n$ (hvor $n$ betegner dimensionen af $V$ ), så

$[\bm{w}]_{\mathcal{W}} = {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot \bm{a}. \tag{8.52}$ Sæt nu ${\bm{v}} = L_\mathcal{V}(\bm{a})$ , og observer, at

$\begin{aligned} [L({\bm{v}})]_{\mathcal{W}} & = {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}} \\ & = {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot \bm{a} \\ & = [\bm{w}]_{\mathcal{W}}. \end{aligned}$ Idet $L_\mathcal{W}$ er en isomorfi, så følger det dermed, at $\bm{w}=L({\bm{v}})$ , og $\bm{w}$ er derfor et element i billedet af $L$ som ønsket.

Lad $L : V \rightarrow W$ betegne en lineær afbildning og lad $\mathcal{V}$ og $\mathcal{W}$ betegne baser for hhv. $V$ og $W$ . Lad $r$ betegne rangen af matrixrepræsentationen ${_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}$ . Så gælder:

Afbildningen
$\begin{aligned} \ker{L} & \rightarrow N({_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}), \\ {\bm{v}} & \mapsto [{\bm{v}}]_{\mathcal{V}}, \end{aligned} \tag{8.53}$ er veldefineret og en lineær isomorfi. Specielt er: $\mathrm{dim}\big(\ker(L)\big)= \mathrm{dim}( V )-r$ .
Afbildningen
$\begin{aligned} L(V) & \rightarrow R({_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}), \\ {\bm{v}} & \mapsto [{\bm{v}}]_{\mathcal{W}}, \end{aligned} \tag{8.54}$ er veldefineret og en lineær isomorfi. Specielt er: $\mathrm{dim}\big( L(V) \big)= r$ .

Bevis

At de angivne afbildninger er veldefinerede er en konsekvens af Lemma 8.23. Begge afbildninger er tilmed injektive lineære transformationer, idet koordinatiseringsafbildningerne $[\cdot]_{\mathcal{V}}$ og $[\cdot]_{\mathcal{W}}$ begge opfylder dette.

For at vise surjektiviteten af (8.53) så lader vi $\bm{a}$ betegne et element i nulrummet for ${_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}$ , og lader herefter ${\bm{v}} \in V$ betegne $L_\mathcal{V}(\bm{a})$ . Så vil $[{\bm{v}}]_{\mathcal{V}}=\bm{a}$ , og ${\bm{v}}$ er derfor et element i $\ker(L)$ ifølge Lemma 8.23. Specielt viser identiteten $[{\bm{v}}]_{\mathcal{V}}=\bm{a}$ også, at $\bm{a}$ er i billedet for (8.53). Vi konkluderer dermed, at (8.53) er surjektiv. At (8.54) er surjektiv vises på tilsvarende vis. Vi konkluderer, at (8.53) og (8.54) er isomorfier.

Dimensionsudsagnene er nu er konsekvens af Proposition 6.20 og Korollar 7.36.

Lad $L : V \rightarrow W$ betegne en lineær afbildning og lad $\mathcal{V}$ og $\mathcal{W}$ betegne baser for hhv. $V$ og $W$ . Så er $L$ en lineær isomorfi hvis og kun hvis ${_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}$ er en invertibel (kvadratisk) matrix. I givet fald er

${_{\mathcal{V}}}[{L^{-1}}]_{\mathcal{W}} = ( {_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} )^{-1}.$

Lad $L : P_2(\mathbb{R}) \rightarrow P_2(\mathbb{R})$ betegne en lineær operator på det reelle vektorrum $P_2(\mathbb{R})$ . Lad $\mathcal{V}$ betegne en basis for $P_2(\mathbb{R})$ og antag, at

${_{\mathcal{V}}}[{L}]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}.$ Angiv ${_{\mathcal{V}}}[{L^{-1}}]_{\mathcal{V}}$

Dit svar: Det er en

Bevis

Antag, i første omgang, at $L$ er en lineær isomorfi. Så er $\mathrm{dim}(V)=\mathrm{dim}(W)$ ifølge Proposition 6.20. Specielt er ${_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}$ en kvadratisk matrix. Idet $L$ er injektiv må $\ker(L)$ og dermed også nulrummet $N({_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}})$ (jf. Proposition 8.24 (1.)) være trivielt. Som konsekvens er ${_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}$ invertibel, jf. Proposition 4.6.

Antag omvendt, at ${_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}$ er kvadratisk og invertibel. Sæt $n=\mathrm{dim}(V)$ . Så er nulrummet $N({_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}})$ af dimension $0$ , og $\ker(L)$ er dermed lig $\{ \bm{0} \}$ , jf. Proposition 8.24 (1.). Vi konkluderer, at $L$ er injektiv, jf. Sætning 6.11. Ifølge Sætning 7.20 så er $L(V) \subseteq W$ ydermere af dimension $n=\mathrm{dim}(W)$ , og dermed må $L(V)=W$ , jf. Proposition 7.16. Vi konkluderer, at $L$ både er injektiv og surjektiv og dermed en lineær isomorfi.

Dette viser den første del af det påståede udsagn. Antag nu, at $L$ er en lineær isomorfi mellem vektorrum af samme dimension $n$ , og lad $L^{-1}$ betegne den inverse lineære transformation. Ifølge Proposition 8.17 opnås nu

${_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}} \cdot {_{\mathcal{V}}}[{L^{-1}}]_{\mathcal{W}} = {_{\mathcal{W}}}[{L \circ L^{-1}}]_{\mathcal{W}} = {_{\mathcal{W}}}[{{\rm Id}_W }]_{\mathcal{W}} = \mathrm{I},$ hvor $\mathrm{I}$ betegner identitetsmatricen af størrelse $n$ . Specielt er den inverse til ${_{\mathcal{W}}}[{L}]_{\mathcal{V}}$ lig ${_{\mathcal{V}}}[{L^{-1}}]_{\mathcal{W}}$ .

Betragt det reelle vektorrum $P_3(\mathbb{R})$ med basis $\mathcal{V}=(1,X,X^2)$ , og lad os beskrive kernen og billedet for den lineære operator
$\begin{aligned} D : P_3(\mathbb{R}) & \rightarrow P_3(\mathbb{R}), \\ p(X) & \mapsto p'(X). \end{aligned}$ Idet
$\begin{aligned} D(1) & = 0 \cdot 1 + 0 \cdot X + 0 \cdot X^2, \\ D(X) & = 1 \cdot 1 + 0 \cdot X + 0 \cdot X^2, \\ D(X^2) & = 0 \cdot 1 + 2 \cdot X + 0 \cdot X^2, \\ \end{aligned}$ så finder vi, at
${_{\mathcal{V}}}[{D}]_{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} . \tag{8.55}$ Ved anvendelse af metoderne beskrevet i Afsnit 7.3 så bestemmes en basis for nulrummet til ${_{\mathcal{V}}}[{D}]_{\mathcal{V}}$ til $\big( (1,0,0)^T \big)$ , mens søjlerummet har basis $\big( (1,0,0)^T, (0,2,0)^T \big)$ . Idet
$L_\mathcal{V} \big( (1,0,0)^T \big) = 1 \text{ og } L_\mathcal{V} \big( (0,2,0)^T \big) = 2X, \tag{8.56}$ så følger det, jf. Proposition 8.24, at $(1)$ er en basis for $\ker(D)$ , mens $(1,2X)$ er en basis for billedet af $D$ . Specielt er $\ker(D)$ lig mængden af konstante polynomier, mens billedet er lig underrummet $P_2(\mathbb{R})$ i $P_3(\mathbb{R})$ .
I Eksempel 8.16 (5.) fandt vi matrixrepræsentationen
${_{{\mathcal{V}_n^\mu}}}[{D}]_{{\mathcal{V}_n^\mu}} = \begin{pmatrix} \mu & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \mu & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \mu & 3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & n-1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \mu \end{pmatrix} \tag{8.57}$ for den lineære operator $D : P_n^\mu (\mathbb{C}) \rightarrow P_n^\mu(\mathbb{C})$ mht. basen ${\mathcal{V}_n^\mu}$ . Hvis $\mu \neq 0$ , så er ${_{{\mathcal{V}_n^\mu}}}[{D}]_{{\mathcal{V}_n^\mu}}$ invertibel, og $D : P_n^\mu (\mathbb{C}) \rightarrow P_n^\mu(\mathbb{C})$ er dermed en invertibel afbildning (jf. Korollar 8.25).
Tilfældet $\mu =0$ er en generalisering af situationen i Eksempel 8.26 (1.), og det overlades til læseren at beskrive, hvad der sker i dette tilfælde.